Θεώρημα Goodstein ή άθλος ?

Όσοι-ες δεν έχετε "έκνομη" ή έστω "ρομαντική" σχέση με τα Μαθηματικά .. μην αποθαρρυνθείτε. Η ουσία της παρούσας ανάρτησης δεν βρίσκεται στις μαθηματικές λεπτομέρειες !

Ξεκινάμε με κάποιο τυχαίο αριθμό n, ας πούμε το  .. 42. Μπορούμε να γράψουμε τo 42 με βάση τον αριθμό 2, ως εξής: 42 = 2⁵ + 2³ + 2.  Αν γράψουμε και τους εκθέτες με βάση το 2,  τότε έχουμε:  a₂ =  42 = 2²²⁺¹ + 2^{2 +1} +2. Ο τρόπος αυτός ονομάζεται  ανάπτυγμα του αριθμού σε υπέρβαση 2. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι γράφουμε το 42 με δυάρια καί άσσους.

Τώρα, αν αντικαταστήσουμε το κάθε 2 με το 3, θα δημιουργηθεί ο αριθμός 3³³⁺¹ + 3³⁺¹ + 3, που προφανώς είναι  πολύ μεγαλύτερος του 42. Αφαιρώντας το 1 ορίζουμε έναν άλλο αριθμό, τον  a₃.

Στη συνέχεια, αφού πρώτα γράψουμε τον αριθμό a₃ αναπτύσοντάς τον σε υπέρβαση 3, αντικαθιστούμε το κάθε 3 με 4 και αφαιρούμε πάλι το 1 από την τελική απάντηση. Αυτός ο αριθμός είναι ο a₄. Με αυτό τον απλό τρόπο κατασκευάζουμε μιά σειρά αριθμών a₂, a_3, a_4, a₅ ... κλπ - την περίφημη ακολουθία Goodstein, που σ' αυτή τη περίπτωση ξεκίνησε με τον αριθμό 42.

Διαισθητικά οι περισσότεροι άνθρωποι  συμπεραίνουν ότι οι αριθμοί (όροι) αυτής της ακολουθίας αυξάνονται εκρηκτικά και χωρίς σταματημό !

Η τρομακτική αύξηση της τάξης μεγέθους  των πέντε πρώτων όρων της ακολουθίας Goodstein - για έναν άλλο αρχικό αριθμό (πχ το 26) - φαίνεται στο επόμενο ενδεικτικό παράδειγμα:

a₂ = 2²² + 2²⁺¹ +  2 = 26

a₃ = (3³³ + 3³⁺¹ + 3) - 1 = 3³³ + 3³⁺¹ + 2 ~ 10¹³

a₄ = (4⁴⁴ + 4⁴⁺¹ + 2) - 1 = 4⁴⁴ + 4⁴⁺¹ + 1 ~ 10¹⁵⁴

a₅ = (5⁵⁵ + 5⁵⁺¹ + 1) - 1 = 5⁵⁵ + 5⁵⁺¹ ~ 10²¹⁸⁴

a₆ = (6⁶⁶ + 6⁶⁺¹) - 1 = 6⁶⁶ + 6⁶⁺¹ - 1 ~ 10³⁶³⁰⁵

Όμως, ρίξτε μιά ματιά στο παρακάτω θεώρημα:

Θεώρημα Goodstein: Για οποιοδήποτε αρχικό αριθμό n, η σειρά Goodstein ξεκινά με το n και τερματίζει στο 0 (μηδέν!) μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων !

Το .. σοκ δεν σταματάει εδώ!  Το 1982 οι Kirby και Paris απέδειξαν ότι το εν λόγω θεώρημα ΔΕΝ  αποδεικνύεται με πρωτοβάθμια αριθμητική, επειδή δεν μπορούμε να περιγράψουμε με αυστηρότητα την εξέλιξη της εκθετικής δομής των όρων μιας ακολουθίας Goodstein στο πλαίσιο της αριθμητικής Peano. To θεώρημα αποδεικνύεται με την επέκταση της περιγραφικής διαδικασίας στη δευτεροβάθμια αριθμητική των διατακτικών (Ο μαθηματικός ξέρει για τι μιλάει - απόδειξη σελ. 28 !)

Επιπλέον οι Kirby και Paris επινόησαν το παχνίδι της Λερναίας Ύδρας. Αντί για το μυθικό όν του Ηρακλή η δική τους Ύδρα είναι ένα δένδρο. Ο κάθε επίδοξος Ηρακλής αποκόπτει κάποια απ' τις  "κεφαλές", δηλαδή ένα κλάδο του δένδρου.  Η Ύδρα απαντά με το "φύτρωμα" πεπερασμένου αριθμού κεφαλών, σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Με την ίδια λογική (σελ. 24) της προαναφερθείσας απόδειξης του θεωρήματος Goodstein, οι Kirby και Paris απέδειξαν ότι τελικά η Ύδρα θα σκοτωνόταν οπωσδήποτε, οποιαδήποτε στρατηγική κι' αν επέλεγε ο Ηρακλής !!!

Υπό το φως του νέου δεδομένου τίθεται το αμείλικτο ερώτημα: Μήπως είναι υπερβολή να μιλάμε για .. άθλο ?

ΥΓ1. Αποκεφαλίστε την δική σας "αφηρημένη" Ύδρα .. εδώ !

ΥΓ2. Για μία κομψή και "εύκολη" απόδειξη από τον John Findlay (1941) του εκπληκτικού Θεωρήματος της "μη πληρότητας" του Kurt Gödel, βλ. σελ. 8 του  προαναφερθέντος συνδέσμου. Είναι διατυπωμένη για την φιλοσοφική εκτίμηση του θέματος και συνεπώς μπορούν να την κατανοήσουν ακόμη και .. φιλόλογοι!

ΥΓ3. Κλικάρετε άνευ .. δισταγμού τα 13 links και τις 2 εικόνες

:)