January 5, 2024

Miracles... revisited

Ξεσπάω στη θάλασσα (ελπίζω όχι σαν τον... Ξέρξη) κλέβοντας ανάσες από τα κύματα και τον ουρανό.

Εδώ και πολλά χρόνια επιδιώκω τα δίδυμα πάθη της Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου (ΚΘΠ) και της υπαίθριας κολύμβησης. Οι ρυθμοί του νερού και της ΚΘΠ, που κυματίζουν σαν διαπλεκόμενα τετραδιάστατα σεντόνια, είναι συνυφασμένοι και συνδεδεμένοι με τους ρυθμούς  του σώματός μου. Η αίσθηση της πλήρους βύθισης που νιώθω όταν μελετάω την Φύση, είναι παρόμοια με την αίσθηση της κολύμβησης σε κρύο νερό. Όμως, που βρίσκεται η έξαρση σ' όλα αυτά? Μα φυσικά στο ότι η έντονη βύθιση στη φύση, είτε νοητικά είτε... απευθείας, έχει μία ασυνήθιστη ομορφιά.

Πιό παλιά, ο Walt Whitman εμπνευσμένος από πρωταρχική παρόρμηση βυθιζόταν στα παρακάτω εκστατικά πανηγυρικά λόγια, για τη σπλαχνική σωματικότητα του φυσικού κόσμου:

O to bathe in the swimming-bath, or in a
good place along shore,
To splash the water! to walk ankle-deep, or
race naked along the shore.

O to realize space! The plenteousness of all, that there are no
bounds,
To emerge and be of the sky, of the sun and
moon and flying
clouds, as one with them.

Σε τελική ανάλυση συν + πλέω μαζί του, αν και από εντελώς διαφορετική αφετηρία.

Τα υπόλοιπα είναι η θάλασσα και οι όμορφοι κυματισμοί της.


















YΓ.  Στην 1η φωτό, με τον γιό μου Χάρη (3ο μπάνιο μας το 2024)



September 14, 2023

Τέλειος Σεπτέμβρης















Όλοι οι μήνες είναι αδρά πειράματα, από τα οποία προκύπτει ένας τέλειος Σεπτέμβρης...


PS1.   Counting every drop...

PS2.   Samba 4 u





April 22, 2023

Η ζώνη του Dirac για τις... μάζες


Αγαπητά συν-πρωτεύονταας συστραφούμε άφοβα!

Video 1: Tοπολογία συνεστραμμένης ζώνης και spinors

Με την επίδειξη της ζώνης του Dirac (και χωρίς περίπλοκα μαθηματικά) γίνεται κατανοητή η διαφορά μεταξύ φερμιονίων και μποζονίων. 

Τα φερμιόνια (δηλ. τα σωματίδια με ημιακέραιο spin) είναι αντικοινωνικά, ενώ τα μποζόνια (δηλαδή τα σωματίδια με ακέραιο spin) είναι κοινωνικότατα!

Τα ηλεκτρόνια, ως φερμιόνια (με spin 1/2), είναι και spinors, διότι χρειάζονται φασική μετατόπιση 720°, δηλαδή ΔΥΟ "περιστροφές" σαν τη ζώνη του Dirac, για να επανέλθουν στην αρχική κβαντική τους κατάσταση.

Όμως, ΜΙΑ μόνο "περιστροφή" 360° ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό της κυματοσυνάρτησης των ηλεκτρονίων-spinors με το -1, μετατοπίζοντάς την αντισυμμετρικά.

Με πολύ όμορφους συλλογισμούς το Video 3 εξηγεί με απλό τρόπο, γιατί τα σωματίδια - φερμιόνια, που περιγράφονται ως spinors, έχουν αντισυμμετρικές κυματοσυναρτήσεις και έτσι, σαν αντικοινωνικά και εναλλάξιμα που είναι (ως ίδια και απαράλλακτα), μας καθοδηγούν στην Απαγορευτική Αρχή του Πάουλι, πράγμα που δε συμβαίνει με τα κοινωνικά μποζόνια, τα οποία έχουν ακέραιο αριθμό spin.

Κι' όλα αυτά αναδύονται από μία... ζώνη!!!

Video 2:  Εξήγηση του κβαντικού spin (τελειώνει στο 13:48)

Eπιτέλους, τι είναι αυτό το... κβαντικό spin?

Αν δεν καταλάβατε τις εξηγήσεις για το spin έχοντας παρακαλουθήσει το προηγούμενο όμορφο video, μην ανησυχείτε, γιατί είστε σε μια πολύ καλή παρέα με τους σωματιδιακούς φυσικούς, που... ούτε αυτοί το καταλαβαίνουν ιδιαίτερα!

Video 3: Ζώνη Dirac και spinors (μέχρι το 14:52)

Το παραπάνω Video 3 είναι ασύγκριτο. Εξηγεί ΠΩΣ η  αντισυμμετρική κυματοσυνάρτηση των spinors, η οποία διακυμαίνεται στο χώρο, ενσωματώνει μία ακόμη διακύμανση ενός επιπλέον βαθμού ελευθερίας ("περιστροφής"/φάσης), με αποτέλεσμα ένας πλήρης κυματικός κύκλος να είναι μία φασική μετατόπιση 720°, όπως αναλογικά συμβαίνει και με τη ζώνη του Dirac.

Ποιός θα περίμενε ότι ένα κοινότατο ενδυματολογικό αξεσουάρ παραπέμπει σε  τόσο ιδιαίτερες κβαντικές συνηχήσεις?

Video 4: H μαθηματική ομορφιά των Rotors και Spinors


ΥΓ. Κλικάρετε άνετα τα 4 video στις 4 εικόνες, αλλά και τα 11 link






April 15, 2023

Get my word



Cha-cha-cha
It's so nice to have a man around the house
Get my word!


It's just a constant game of cat and mouse...


It's so nice to have 3 cats around the house

(Φραγκούλης - Σουσού - Πρόεδρος (ή... Lord Palmerston)


PS.  A mouse click on the 2 images and 4 links is a... must!





February 9, 2023

Χαμένοι... έτσι κι' αλλιώς!



Για ποιό λόγο γίνονται όλα αυτά, Άλφι?
Πρόκειται μόνο για τη στιγμή που ζούμε?

Για ποιό λόγο γίνονται όλα αυτά
όταν εσύ τα σχεδιάζεις όλα, Άλφι?

Είναι μοιραίο
να παίρνουμε περισσότερα απ' όσα δίνουμε 
ή είναι η μοίρα μας να είμαστε καλοί?

Κι' αν μόνο οι ανόητοι είναι καλοί, Άλφι
τότε νομίζω, ότι είναι σοφό να είσαι σκληρός.
Κι' αν η ζωή ανήκει μόνο στους δυνατούς, Άλφι
τι σημασία έχει ο κάθε παλιός, χρυσός ηθικός κανόνας?

Απ' όσο μπορώ να πιστεύω
υπάρχει μόνο ουρανός εκεί πάνω, Άλφι.
Ξέρω όμως ότι υπάρχει και κάτι περισσότερο.
Κάτι  που ακόμα κι' όσοι δεν πιστεύουν
μπορούν να πιστέψουν.

Πιστεύω στην αγάπη, Άλφι.
Χωρίς αληθινή αγάπη απλά υπάρχουμε, Άλφι.
Μέχρι να βρεις την αγάπη που σου'λειψε
είσαι ένα τίποτα, Άλφι.

Όσο περπατάς, άφηνε την καρδιά σου να σε οδηγεί
και θα βρεις αγάπη κάποια μέρα
Άλφι...



ΥΓ1. Ο Burt Bacharach, ο μελωδικότερος μουσικός συνθέτης που αναδύθηκε στην ωχρή μπλε κουκίδα μας, απεβίωσε από φυσικά αίτια χθες στο σπίτι του στο Los Angeles σε ηλικία 94 ετών...


ΥΓ2. Ακολουθεί ο περίφημος μονόλογος του Michael Caine στην τελευταία σκηνή της ταινίας Alfie (βλ. το 1ο video της ανάρτησης)

"You know what? When I look back on my little life and the birds I've known, and think of all the things they've done for me and the little I've done for them, you'd think I've had the best of it along the line. But what have I got out of it? I've got a bob or two, some decent clothes, a car, I've got me health back and I ain't attached. But I ain't got me peace of mind - and if you ain't got that, you ain't got nothing. I dunno. It seems to me if they ain't got you one way, they've got you another. So what's the answer? That's what I keep asking myself - what's it all about? Know what I mean?"




January 15, 2023

It's time to be leaving


 
Μπαίνω στην ουρά
Ανεβαίνουμε όμορφα.

Ρωτάω την 17χρονη μπροστά μου
Γιατί είμαστε στην ουρά.

'Για να μπούμε σε άλλη ουρά,'
Μου εξηγεί.

'Πόσο μάταιο,' λέω,
'Φεύγω.' Μου δείχνει 
Μία άλλη μεγάλη ουρά.
'Τότε πρέπει  πάλι να μπεις σε... σειρά.'

Μπαίνω στην ουρά
Ανεβαίνουμε όμορφα.



Gotta be extra careful
It's just a slow mental dance
Not a romance...



PS. Kindly click on the 2 images and 9 links



August 5, 2022

Αδάμαστη...

 












Έζησες μόλις 7 χρόνια και 3 μήνες. 

Αυτή η μικρή ζωούλα σου ήταν το δικό σου επικούρειο κάτοπτρο, που θα χωρίζει συμμετρικά και για πάντα την προγεννητική σου ανυπαρξία από τη μεταθανάτια ανυπαρξία σου. 

Σήμερα δεν άντεξες.

Σε λατρέψαμε και σ' αγαπήσαμε πολύ.

Θα σε θυμόμαστε μέχρι να περάσουμε κι' εμείς στην άλλη πλευρά του κατόπτρου... στην ανυπαρξία... όπως πέρασες εσύ σήμερα... 

Bookie... artichoking in above video (19 Mαϊου 2022)






So beautiful to me...




March 27, 2022

Αναπνοή ενέργειας









Αισθητικά ευχάριστο μοντέλο ενός  πυκνωτή  που απορροφά ενέργεια από τον χώρο (Με λευκό χρώμα τα διανύσματα  Poynting της ροής ενέργειας στο ΧΩΡΟ)


Αν ποτέ βρεθείτε με έναν ηλεκτρολόγο μηχανικό ή έναν φυσικό, ρωτήστε τον/την ΠΩΣ μεταδίδεται η ενέργεια στα ηλεκτρικά κυκλώματα!

Η πιθανότητα να πάρετε τη σωστή απάντηση είναι πολύ μικρή. Οι περισσότεροι θα σας απαντήσουν λανθασμένα, ότι η ενέργεια "ρέει" στους αγωγούς (επί το λαϊκότερον... στα σύρματα) και ότι διαδίδεται  μέσω των κυκλοφορούντων ηλεκτρονίων.

Βέβαια, αν διανοηθείτε να ψελίσετε ότι  δεν είναι δυνατόν να συμβαίνει κάτι τέτοιο, αφού η ταχύτητα των ηλεκτρονίων στους αγωγούς είναι της τάξεως των 4 cm/hr,  ενδέχεται να μείνουν με ανοιχτό το στόμα. Αν μάλιστα επιμείνετε και επικαλεστείτε το παράδειγμα ενός φακού με συνηθισμένο μέγεθος (γύρω στα 10 cm) και επισημάνετε ότι για να φτάσει (μέσω ηλεκτρονίων) η ενέργεια από τη μπαταρία στο λαμπάκι  θα χρειαζόταν πάνω από δύο ώρες για να υπάρξει φωτοχυσία, τότε υπάρχει η περίπτωση ακόμη και να... λοιδορηθείτε.

Όμως, όλα αυτά είναι "ψιλά" γράμματα για τα ελληνικά  παν/μια και πολυτεχνεία, αφού  οι εν λόγω πληροφορίες δεν  διαχέονται στους καθηγητές της Φυσικής που διδάσκουν στα σχολεία, αλλά ούτε καν στους εξειδικευμένους ηλεκτρολόγους μηχανικούς, οι οποίοι κάνουν ΠΡΑΚΤΙΚΟΥΣ υπολογισμούς, βασιζόμενοι στο ότι η ενέργεια μεταδίδεται μέσω των ηλεκτρονίων.

Είναι σχεδόν σίγουρο ότι κάποτε θα είχαν πληροφορηθεί ότι η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΕΤΑΔΙΔΕΤΑΙ  μέσω του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ, στην κατεύθυνση των διανυσμάτων Poynting, αλλά πιθανώς κανείς δεν είχε φροντίσει να τους το εξειδικεύσει. Έχουν μάθει να υπολογίζουν και να καταλήγουν σε αποτελέσματα με πρακτική αξία, αλλά αυτό δεν τους εμποδίζει να αγνοούν την βαθύτερη ουσία των πραγμάτων.

Στην επόμενη εικόνα διακρίνεται με
κίτρινο η κάθετη κατεύθυνση της ενεργειακής ροής (ή διάνυσμα Poynting S) σε σχέση με το ηλεκτρικό πεδίο Ε και το μαγνητικό πεδίο Β ταυτόχρονα.









Επίσης, στις 2 παρακάτω εικόνες δείτε τη ροή της ενέργειας στο χώρο, από την μπαταρία προς τη λάμπα (ισχύουν είτε για συνεχές είτε για εναλασσόμενο ρεύμα)












κίτρινες καμπύλες δείχνουν την κατεύθυνση των διανυσμάτων Poynting S.  


Άρα, εφεξής, όποτε προβληματίζεστε για το ΠΩΣ μεταφέρεται η ενέργεια στα διάφορα σημεία ενός ηλεκτρικού κυκλώματος (όσο μεγάλο κι' αν είναι αυτό, ακόμη κι' αν περιλαμβάνει Γραμμές Υψηλής Τάσης) η απάντηση είναι η ίδια: μέσω ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων, στη κατεύθυνση των διανυσμάτων Poynting, που είναι κάθετα στα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία, Ε και Β, τα οποία είναι παρόντα σε  κάθε χωροχρονικό σημείο. 

Όταν ΔΕΝ υπάρχει το ένα από τα δύο πεδία
Ε και Β, τότε ΔΕΝ μπορεί να υπάρξει μετάδοση ηλεκτρικής ενέργειας. Επιπλέον, η ενέργεια ΔΕΝ μεταφέρεται στην κατεύθυνση ροής του φορτίου, δηλ. των ηλεκτρονίων, όσο αντιδιαισθητικό κι' αν ακούγεται αυτό!

Τέλος, ένθερμα προτείνω να μην αναφέρετε τα παραπάνω στον ηλεκτρολόγο σας την ώρα που τοποθετεί  αντιηλεκτροπληξιακό ρελέ διαφυγής στον πίνακα του... εξοχικού σας.


ΥΓ.  Κλικάρετε αδίστακτα τις 4 εικόνες και τα 7 link του κειμένου




January 8, 2022

Ομοτιμία και λοιπά... δαιμόνια

Θεωρητική Φυσική και Κβαντομηχανική χωρίς θεωρία Ομάδων... δε γίνεται. Θεωρία Ομάδων χωρίς Διατάξεις... επίσης δε γίνεται. Κι' αυτό γιατί, σύμφωνα με θεώρημα του Cayley, οποιαδήποτε Ομάδα μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο συμβόλων, καθένα από τα οποία αντιπροσωπεύει μία Διάταξη. Επιπλέον, ο πίνακας σύνθεσης αυτών των συμβόλων (κάτι περίπου σαν τον πίνακα πολλαπλασιασμού που μαθαίνουμε στο Δημοτικό) αναπαριστά την σύνθεση (δηλ τις "πράξεις" με την ευρύτερη έννοια του όρου) μεταξύ αυτών των Διατάξεων. Συνεπώς, κατανόηση των Διατάξεων σημαίνει και κατανόηση της Θεωρίας Ομάδων.

Γιατί αναρτώ αυτό το θέμα?

Πρώτον, γιατί είναι όμορφο και ανήκει στα... διαχρονικά χόμπι μου! Ως γνωστόν, η ομορφιά κρύβεται συνήθως στη συμμετρία (ή στη ρήξη της) αλλά και στην απλότητα.

Δεύτερον, επειδή είναι πολύ απλή και κατανοητή η παρουσίαση του εν λόγω θέματος στα δύο playlists που υποκρύπτουν οι  δύο εικόνες. Το μόνο που χρειάζεται για να παρακολουθήσει κανείς τα video, είναι διάθεση για τη συστηματική μελέτη των συμμετριών, ανοιχτό μυαλό και από ένα κλικ στην πρώτη και τελευταία εικόνα.

Η  πρώτη λίστα, που εμφανίζεται με το κλικάρισμα της 1ης εικόνας, παρουσιάζει μία σειρά από 138 video μικρής διάρκειας, με μοναδικό προαπαιτούμενο την στοιχειώδη γνώση μαθηματικών. 

Η δεύτερη λίστα, που είναι διαθέσιμη με απλό κλικάρισμα της 2ης εικόνας, παρουσιάζει μία ανεξάρτητη συνοπτικότερη σειρά 33 πολύ μικρών video, τα οποία ενώ δεν ενδείκνυνται για...  φελόλογους παντός είδους, είναι εύκολα και προσπελάσιμα απ' όσους θέλουν να νιώσουν ένα ψήγμα από τη μαγεία της Αφηρημένης Άλγεβρας, αλλά δεν τόλμησαν ποτέ να το προσπαθήσουν.


Τέλος, το άνω video  μαζί με άλλα τρία (Part 1,2,3,4) από την 1η λίστα  παρέχουν 38 λεπτά πρόγευσης των Διατάξεων και της Ομοτιμίας.



ΥΓ:  Ας μιλήσουμε και για... σχέσεις !
         (διμελείς... ή ότι τραβάει η "ψυχούλα" του καθενός)


Εnjoy!



December 31, 2021

Πάνω, πάνω και μακριά!









Σαφώς και θα μπορούσαμε να αιωρηθούμε στ' άστρα.


ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ !



(στο video o Φραγκούλης υπερνικά την έλξη του πλανήτη μας) 

ΥΓ.  Είναι απαραίτητο το κλικ στον Πύργο του ΕΕΑ


November 6, 2021

Κρεβάτι, γάτες και Al Kapone!


Η παρακάτω σουρρεαλιστική ανάρτηση είναι  διττή.

Αφενός μεν, στο άνω video ο μικρός Φραγκούλης εύτολμα "παίζει"  με την υπομονή του μεγαλύτερου, μεγαλοπρεπούς και στωϊκού Προέδρου.

Αφετέρου δε, από τις παρακάτω εικόνες αναδύεται ο ανατριχιαστικά σωστός Al Kapone...






















YΓ1.  Κλικάρετε τις 3 εικόνες αν είστε τολμηροί όπως ο Φραγκούλης

YΓ2.  Τα 2 θηλυκά αιλουροειδή μου (Bookie και Σουσουράδα) απέχουν



October 4, 2021

Sax revisited...



Μπράβο κορίτσια !




What an eargasm



ΥΓ1. Μόνο για λίγους (όχι κατ' ανάγκη... μύστες)

ΥΓ2. Sax is definitely NOT to be confused with... sex


August 1, 2021

Απόδοση εμβολιασμού και Bayes

Αφορμή για τους παραπάνω πρόχειρους υπολογισμούς μου είναι μία πρόσφατη ανάρτηση, που επισημαίνει ότι το 40% των covid νοσηλειών στο Ηνωμένο Βασίλειο αφορά σε πλήρως εμβολιασμένα άτομα.

Βέβαια, σε αντίθεση με όσους  εικάζουν, ότι η εν λόγω πληροφορία δρα ενισχυτικά για όσους αρνούνται τους εμβολιασμούς —είτε είναι "ψέκια" ή απλά φοβισμένοι η επιστημονική αλήθεια είναι ολοκληρωτικά διαφορετική. Πρόκειται για εξαιρετικά νέα, όπως τονίζει ο μοριακός βιολόγος συγγραφέας της ανάρτησης στο Facebook!

Το προαναφερθέν άρθρο, επιτυχώς "αποκρυπτογραφεί" χοντρικά αυτά τα εξαιρετικά νέα, από το γεγονός ότι το 10% του ανεμβολίαστου πληθυσμού έδωσε το 60% των νοσηλειών, ενώ το υπόλοιπο 90% (δηλ. η μεγάλη δεξαμενή των πλήρως εμβολιασμένων) έδωσε μόλις το 40% των νοσηλειών στο νησί.

Ωστόσο, η ατυχής αναφορά «... να μη "μπλέξουμε" με μαθηματικά (που μπορεί λίγο να τρομάζουν)» εκτός του ότι με απωθεί, μου θύμισε και κάποια ανάρτησή μου, στην οποία επισημαίνω ότι σύμφωνα με παλαιότερες αξιόπιστες έρευνες, το 85% των γιατρών παγκοσμίως δίνουν λάθος απαντήσεις σε ερωτήματα σχετιζόμενα με τις δεσμευμένες πιθανότητες! Πάντως, δεν μπορώ να αποδεχθώ ότι τα συγκεκριμένα μαθηματικά πτοούν τους περισσότερους γιατρούς. Απλά, τα αγνοούν και γι' αυτό δίνουν λάθος απαντήσεις...

Έχω την πεποίθηση ότι τα πάντα μπορεί να εξηγηθούν στον οποιονδήποτε, αρκεί αυτός που εξηγεί να μην έχει ελλιπή κατανόηση του αντικειμένου. Κατά τ' άλλα δεν υπάρχουν δικαιολογίες  ότι τα μαθηματικά είναι μόνο για κάποιους...  δήθεν μύστες.

Οι στοιχειώδεις υπολογισμοί μου στην άνω εικόνα σε συνδυασμό με την παλαιότερη ανάρτησή μου, Bayes με τρία απλά παραδείγματα, ευελπιστώ ότι αίρουν τα αντιμαθηματικά στερεότυπα και βοηθούν ακόμα και το 85% των γιατρών που δεν έχουν καλές σχέσεις με τον Bayes στην κατανόηση της τεκμηριωμένης θέσης, ότι τα προαναφερθέντα νέα είναι εξαιρετικά.

YΓ1. Aν κάποιοι ίσως έχουν δυσκολία να αποδεχθούν ότι  ισχύει η σχέση P(Ε|Θ) P(Θ|Ε) [δηλ. ότι η πιθανότητα του Ε δοθέντος του Θ συνήθως διαφέρει αρκετά από την πιθανότητα του Θ δοθέντος του Ε], τους υπενθυμίζω ότι η πιθανότητα να είσαι έγκυος —με δεδομένο ότι είσαι θηλυκού φύλου— είναι   ∼3%, ενώ η πιθανότητα να είσαι θηλυκού φύλου —με δεδομένο ότι είσαι έγκυος— είναι 100%... τουλάχιστον προς το παρόν!

ΥΓ2.
 Κλικάρετε ανηλεώς τα 11 link καθώς  και την εικόνα.




May 16, 2021

Τι όνειρο...

Τις προάλλες είδα στ' όνειρό μου έναν παλιό φίλο, ο οποίος μάταια προσπαθούσε επί σειρά ετών να τρυπώσει σε κάποιο πανεπιστήμιο, ημεδαπό ή ξένο, με βασικό εφόδιο το διδακτορικό του.

Άραγε τι σημαίνει να αξίζεις κάτι;  Ή να αξίζεις αρκετά; Ή να είσαι, ευτελής, ασήμαντος, φτηνιάρικος;  Τι σημαίνει να κερδίζεις χρήματα για να ζήσεις;  Τι σημαίνει να σε προσλάβουν κάπου; Ή να σε απολύσουν;

Στα παραμύθια, η μορφή είναι η λειτουργία σου και η λειτουργία είναι η μορφή σου. Αν δεν κλώσεις το άχυρο σε χρυσάφι ή δεν κληρονομήσεις το βασίλειο ή δεν παντρευτείς την όμορφη πριγκίπισσα ή δεν πάρεις την καθηγεσία έστω και σε τρισάθλιο ελληνικό παν/μιο, τότε, όχι μόνο εγκαταλείπεις το παραμύθι χωρίς χρονοτριβή, αλλά γκρεμοτσακίζεσαι από το χείλος του μέσα σ' ένα κατάμαυρο δάσος, όπου δεν υπάρχει άλλη λειτουργία για σένα, ούτε εναλλακτική καριέρα. Τι συμβαίνει όταν οι ικανότητές σου δεν είναι πλέον επαρκείς για τις ανάγκες του παραμυθιού; Τότε σε παίρνει μιά ριπή ανέμου και σε εξαφανίζει μακριά.

Επί σειρά ετών έκανε αιτήσεις για καθηγητικές θέσεις, ιδιαίτερα στην ψωροκώσταινα όπου όλοι ονομάζονται καθηγητές, αλλά χωρίς αποτέλεσμα. Ήθελε τόσο πολύ μιά τέτοια δουλειά. Αλλά πλέον, δεν ήταν σίγουρος γιατί την ήθελε. Κοίταξε τα χέρια του και δεν μπορούσε να πει αν ήταν τα δικά του. 

«Ασφαλώς και μπορείς να διακρίνεις τα δικά σου χέρια» του είπα. «Μην είσαι ανόητος

«Δεν έχω πραγματική δουλειά» μου είπε. «Ασφαλώς και έχεις πραγματική δουλειά» του απάντησα. «Δεν έχω αλεύρι», υποτονθόρισε. «Γάμα το ψωμί! Μας τέλειωσε...» του φώναξα.

Μου ζήτησε να του ζωγραφίσω τον aleph μηδέν, ή αλλιώς το... πρώτο μικρότερο άπειρο, δηλαδή τον πληθικό αριθμό του συνόλου των φυσικών αριθμών. Πήρα ένα μολύβι και τον ζωγράφισα πολύ προσεκτικά. «Είναι σαν ένα κλαδί,» του είπα, «με δύο μικρά προσαρμοσμένα κλαράκια.»  Σαν bonus του ζωγράφισα και τον θεόρατο, αλλά πιό φευγαλέο, aleph ένα.

«Ξέρεις Σταύρο;» ψέλισσε. «Θα ήσουν ένας εξαιρετικός δάσκαλος.» «Σ' ευχαριστώ πολύ» του είπα. Και φυσικά λίγο πριν ξυπνήσω, του "ζωγράφισα" έναν Ιακωβιανό πίνακα...



YΓ1.  Κλικάρετε άφοβα τα 19 link και ιδιαίτερα τις 2 εικόνες

YΓ2.  Turing and the apple (Scientific American, Ιούνιος 2021)

Nothing’s wholly certain. A half
apple lay beside the bed, bites
taken out of it, when his corpse
was found—though no one really tried
to ascertain if it contained
cyanide. After he had seen
Snow White, off and on he would chant
the haggish queen’s vile couplet. Did
he dip the apple in the brew
and let the Sleeping Death seep through?
And did it make his dreams come true?
Was he the smartest in the land?
What determines when a machine
must stop? Why is a program bound
to crash? Or a person? Was some
forgetful prince supposed to drop
by, give him the reviving kiss,
and start the soap opera up
again, absent forced estrogen?
Or was his being too at odds
with everything the problem? What
went amiss in this fairy tale?
Was the steeped fruit Newton’s or Eve’s?
Did he conceive himself beyond
skin and bone? Did he want to be
quantum-mechanically reborn
in the new form of other flesh?
Foresee a castle in the sky
for happy-ever-aftering?
His life of paradox remains
a core enigma. There’s no test
to disambiguate the dead
and sort out accident from will,
sheer inevitability
from Russian-roulette randomness,
much less a computer to plumb
the strange-looped onion depths of mind
and crack its tangled cryptograms.
We’d have the truth come absolute,
data bereft of ifs, but it’s
adrift, mute, undecidable,
lost in the laptop cenotaph.





May 10, 2021

Golden Slumbers


Χθες μέτραγα τις γάτες μου και όντας αφηρημένος μέτρησα και τον... 
εαυτό μου!















Golden slumbers fill your eyes
Smiles await you when you rise...



December 12, 2020

Both! (my dear Watson)













Ο Αγνωστικισμός και ο Αθεϊσμός δεν είναι αμοιβαίως αποκλειόμενες έννοιες, αλλά  σχετίζονται με διαφορετικά πράγματα. Ο πρώτος αφορά την έλλειψη γνώσης, ενώ ο δεύτερος την έλλειψη πίστης. 

Αγνωστικισμός είναι η έλλειψη γνώσης για την ύπαρξη θεού. 

Αθεϊσμός είναι η έλλειψη πίστης ότι υπάρχει κάποιος θεός, και ΟΧΙ η πίστη ότι ΔΕΝ υπάρχει θεός.

Το σημαντικό είναι ότι όλοι οι άνθρωποι είμαστε αγνωστικιστές, δηλαδή ΚΑΝΕΝΑΣ πραγματικά ΔΕΝ ΓΝΩΡΙΖΕΙ αν υπάρχει κάποια θεϊκή οντότητα. 

Όμως, οι πιστοί αν και ΔΕΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΝ ότι υπάρχει θεός, δεν πτοούνται, έχοντας φυσικά δικαίωμα να ΠΙΣΤΕΥΟΥΝ ότι υπάρχει.

Οι Αθεϊστές επίσης ΔΕΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΝ αν υπάρχουν οι χιλιάδες θεοί που έχουν διαχρονικά λατρευτεί και δοξαστεί από την ανθρωπότητα (συμπεριλαμβανομένου και του τελευταίου θεού των τριών αβρααμικών θρησκειών) αλλά έχουν επιλέξει την αδιαφορία στη λεγόμενη πίστη σε κάποιο θεό.  Βέβαια, αν ανέκυπταν ξαφνικά επιστημονικές αποδείξεις ύπαρξης θεϊκών οντοτήτων, τότε θα ήταν υποχρεωμένοι να τις αποδεχθούν. Στην πραγματικότητα όμως, αυτό δεν θα ήταν πλέον πίστη, ΑΛΛΑ  ΓΝΩΣΗ!

Ως εκ τούτου, δεν θα έπρεπε καν να ρωτάμε αν υπάρχει θεός, καθόσον ΟΛΟΙ οφείλουν να λένε έντιμα ότι ΔΕΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΝ! 

Όμως στην ερώτηση "ΠΙΣΤΕΥΕΙΣ ότι υπάρχει θεός?", οι μεν Αθεϊστές όπως εγώ απαντούν ρητά "ΟΧΙ", οι δε πιστοί απαντούν με εμφατικό  "ΝΑΙ", ενώ οι Αγνωστικιστές είναι αναγκασμένοι να πάρουν μία απόφαση. Δεν μπορούν να απαντήσουν "ΔΕΝ ξέρω αν πιστεύω ή όχι", επειδή αυτή η απάντηση εξ' ορισμού δεν έχει νόημα!

Τέλος, ας μη ξεχνάμε ότι κανείς δεν οφείλει να αποδείξει ότι κάθε παράλογος ισχυρισμός δεν ισχύει, και γιατί άλλωστε? Όπως δεν μπορούμε να αποδείξουμε την ανυπαρξία χιλιάδων θεοτήτων της ανθρωπότητας μέχρι σήμερα, έτσι δεν μπορούμε να αποδείξουμε και τη ΜΗ ΥΠΑΡΞΗ ροζ μονόκερων, πορσελάνινης τσαγιέρας σε τροχιά γύρω από τον... ήλιο, νεράϊδων, Όσιρι, Ρα, Δία, Θωρ, αβρααμικού θεού κλπ.

Επομένως, από τεχνική άποψη ο
 Αγνωστικισμός και ο Αθεϊσμός  είναι δύο παράξενοι ελκυστές, οι οποίοι δεν αλληλοαποκλείονται, ενώ παράλληλα συντροφεύουν τη Λογική, που είναι το υπέρτατο αντίδοτο στη μεγαλύτερη συλλογική παράκρουση της ανθρώπινης  ιστορίας.

Καλές Γιορτές σε όλες τις... οντότητες!










ΥΓ1.  Αν κάποιος καλός άνθρωπος σας ζητήσει να προσεύχεστε λόγω του ενδεχόμενου να υπάρχει τελικά μια υπερκόσμια θεϊκή οντότητα (που σημειωτέον θα καραδοκεί, ώστε να τη δοξάζετε δουλοπρεπώς νυχθημερόν) τότε θα μπορούσατε άνετα να τον συμβουλεύσετε να τοποθετήσει ευμεγέθη σκόρδα στην εξώπορτά του, ώστε να είναι καλυμμένος αν τυχόν εμφανιστούν ξέμπαρκοι Δράκουλες, όχι μόνο στα Καρπάθια, αλλά και στη... γειτονιά του!


ΥΓ2.   Περισσότερα στα 28 μπλε link (κειμένου και  2 εικόνων) 



October 17, 2020

You can radiate everything you are

Οι γάτες δεν κρύβουν ποτέ τα συναισθήματά τους.

Συνεπώς, αυτές οι γοητευτικές οντότητες ακτινοβολούν μία συναισθηματική εντιμότητα, που οι άνθρωποι δεν...  αγγίζουμε.

Η γάτα που νιαουρίζει στα πόδια σου και σε κοιτάζει, είναι η ζωή που σου χαμογελάει. Αυτές είναι στιγμές που είμαστε τυχεροί. Μας θυμίζουν ότι είμαστε ζωντανοί.



ΥΓ.
  Γιατί όχι μερικά κλικ σε εικόνα και 6 συνδέσμους? 


May 6, 2020

Εργοδικότητα και Ισομορφισμοί



Οι παρακάτω έννοιες προσεγγίζονται με διαισθητικό στυλ, έτσι ώστε κάποιος χωρίς σοβαρό μαθηματικό υπόβαθρο να μπορέσει απτόητος να τις ψηλαφίσει, και ενδεχομένως να εκτιμήσει  την ομορφιά τους.

Ας ξεκινήσουμε με ένα δίκαιο ζάρι, που αν το το ρίξουμε 100 φορές εμφανίζει στατιστικά τις ίδιες πιθανότητες με 100 ολόϊδια δίκαια ζάρια που ρίχνουμε από μία φορά το καθένα. Η ρίψη τέτοιων ζαριών είναι  “εργοδική”. Όμως, αν λιμάρουμε την άκρη του ζαριού μετά από 10 ρίψεις, έτσι ώστε να είναι προκατειλημμένο στην εμφάνιση του αριθμού 4, τότε αναδύεται η “μη εργοδικότητα”, όπου 1 ζάρι 100 φορές ΔΕΝ ισοδυναμεί με 100 διαφορετικά ζάρια απο μία φορά! Ατυχώς, πολλοί αντιμετωπίζουν τα μη εργοδικά συστήματα ως εργοδικά.

Η μη εργοδικότητα είναι θεμελιώδης αλλά ελάχιστα γνωστή έννοια, όπως άλλωστε και η εργοδικότητα. Υπάρχει εργοδικότητα όταν το σύστημα που εξετάζουμε "επισκέπτεται" όλες τις πιθανές του καταστάσεις, όπως τα αμερόληπτα ζάρια που προαναφέρθηκαν. Συνεπώς, τα εργοδικά συστήματα ΔΕΝ έχουν βαθειά "αίσθηση" της ιστορίας τους.  Σε αντιδιαστολή, τα μη εργοδικά συστήματα ΔΕΝ επισκέπτονται όλες τις πιθανές τους καταστάσεις, και ως εκ τούτου εμπεριέχουν μία βαθειά "αίσθηση" της ιστορίας τους. Η εξέλιξη της ζωής στη βιόσφαιρά μας είναι θεμελιωδώς μη εργοδική και ιστορική, αφού εξελικτικά δεν αναδύθηκαν όλες οι πιθανές μορφές ζωής (καταστάσεις, φάσεις ή σημεία στο χώρο φάσεων), αλλά μόνο ένα απειροελάχιστο υποσύνολό τους.

Ας προχωρήσουμε τώρα με τη φαντασία μας σ' ένα "ιδιόρρυθμο" τραπέζι μπιλιάρδου ασυνήθιστου σχήματος, που έχει μία ιδιαίτερα λεία επιφάνεια χωρίς τριβές και καθόλου τρύπες. Ένα μέρος του τραπεζιού είναι βαμένο άσπρο και το υπόλοιπο είναι μαύρο. Μία μπάλα μπιλιάρδου τοποθετείται σε ένα τυχαίο σημείο του περίεργου τραπεζιού και χτυπιέται με τυχαία ταχύτητα σε μία τροχιά. Παρεπιπτόντως, τα μάτια σου είναι καλυμμένα με μάσκα και δε γνωρίζεις ποιό είναι το σχήμα του τραπεζιού. Όμως, καθώς η μπάλα περιφέρεται, δέχεσαι συνεχείς ενημερώσεις για το πότε η μπάλα βρίσκεται στο άσπρο τμήμα του τραπεζιού και πότε στο μαύρο. Από αυτές τις πληροφορίες οφείλεις να συμπεράνεις όσα περισσότερα μπορείς για όλο το σύστημα: πχ αν το τραπέζι έχει το σχήμα ενός ορθογώνιου παραλληλόγραμμου ή όχι.   

Το γνωστικό πεδίο που περιλαμβάνει το προηγούμενο παράδειγμα ονομάζεται εργοδική θεωρία, και μοντελοποιεί εντελώς διαφορετικά συστήματα (ζάρια, εξέλιξη ζωής, τραπέζια μπιλιάρδου, κλίμα κλπ) χρησιμοποιώντας την αφαιρετική προσέγγιση των μετασχηματισμών διατήρησης μέτρου.

Για να προσπελάσουμε αυτή τη τελευταία εννοιολογική αφαίρεση, είναι εντελώς απαραίτητο να εστιάσουμε στις έννοιες του μέτρου και των μετασχηματισμών. Το μέτρο, δεν είναι παρά ένα μέγεθος που μας λέει πόσο μεγάλο είναι ένα σύνολο, ή, στη γλώσσα των πιθανοτήτων, πόσο πιθανό είναι να συμβεί ένα ενδεχόμενο. Ας σημειωθεί ότι ένας χώρος πιθανοτήτων έχει πάντα ως συνολικό μέτρο τον αριθμό "1".  Φυσικά,  ένα οποιοδήποτε μέτρο οφείλει να συμπεριφέρεται όπως ακριβώς και η ιδέα του μεγέθους: πχ το μέτρο της ένωσης δύο διακεκριμένων συνόλων πρέπει να ισούται με το άθροισμα των μέτρων των συνόλων. Από την άλλη πλευρά, ένας μετασχηματισμός είναι ένας τρόπος να αντιστοιχηθεί ο χώρος με τον εαυτό του, κατανέμοντας ένα σημείο σε ένα άλλο. Σε πολλές περιπτώσεις οι μετασχηματισμοί καταδεικνύουν μία εξέλιξη στον χρόνο: για παράδειγμα, μπορεί να αντιστοιχίζουν τη θέση και κατεύθυνση μιας μπάλας μπιλιάρδου κατά την τρέχουσα στιγμή, με τη θέση και κατεύθυνση της μπάλας ένα δευτερόλεπτο αργότερα.

Η εργοδική θεωρία διερευνά τους μετασχηματισμούς σε χώρους πιθανοτήτων οι οποίοι διατηρούν αναλλοίωτο το μέτρο. Έτσι, για παράδειγμα, αν ένα σύνολο σημείων Α έχει μέτρο 1/69, και ένας μετασχηματισμός Τ διατηρεί το μέτρο, τότε το σύνολο των σημείων που αντιστοιχίζονται στο Α μέσω του Τ, θα έχουν επίσης μέτρο 1/69. Όταν δε το μέτρο ερμηνεύεται ως πιθανότητα (όπως είπαμε πάντα μικρότερη της μονάδος) αυτή η ιδιότητα διατήρησης του μέτρου καταδεικνύει το χρονικό αναλλοίωτο (μη μεταβολή στον χρόνο — στασιμότητα) των αναμενόμενων συχνοτήτων εμφάνισης ορισμένων ενδεχομένων (όπως πχ την πιθανότητα της μπάλας μπιλιάρδου να βρίσκεται στο άσπρο τμήμα του τραπεζιού.)

 Όταν εφαρμόζεται ένας μετασχηματισμός ξανά και ξανά, και ελέγχουμε μετά από κάθε εφαρμογή του αν κάποιο ενδεχόμενο έχει συμβεί καταγράφοντας το αποτέλεσμα, τότε έχουμε μία διεργασία. Η γλώσσα των διεργασιών και η γλώσσα των μετασχηματισμών είναι στην πραγματικότητα δύο διαφορετικοί τρόποι που περιγράφουν το ίδιο πράγμα. Πχ, έχουμε μία διεργασία στο παράδειγμα του μπιλιάρδου, αν καταγράφουμε σε χρονικά διαστήματα του ενός δευτερολέπτου, είτε το Μ ή το Α,  για τη θέση της μπάλας.  Το αποτέλεσμα Μ Μ Α Α Μ . . . αναπαριστά την μπάλα στις περιοχές  μαύρη, μαύρη, άσπρη, άσπρη και μαύρη κατά τις χρονικές στιγμές 0, 1, 2, 3 και 4 αντίστοιχα.

Προφανώς μπορούμε να αναλύσουμε και διεργασίες συστημάτων του πραγματικού κόσμου, χωρίς προηγούμενη γνώση των επιδρώντων μετασχηματισμών. Πχ, ας πούμε ότι καταγράφουμε το μεσημέρι κάθε μέρας, αν ο καιρός είναι βροχερός ή ηλιόλουστος, κωδικοποιώντας το με ένα Β ή Η. Αν αυτό το κάνουμε κάθε μέρα στο παρόν και στο μέλλον, θα έχουμε σαν αποτέλεσμα μία διπλά  άπειρη (δηλ. και από τα δύο άκρα άπειρη) χρονοσειρά  από  Β και Η, όπως: . . . Η Β Β Η (Η) Β Β Β Η . . .  Εδώ οι παρανθέσεις ταυτοποιούν την τρέχουσα μέρα  (είναι ηλιόλουστη σήμερα, θα είναι βροχερή αύριο, ήταν ηλιόλουστη χθες, κλπ)

Για να μεταφέρουμε το προηγούμενο παράδειγμα στη γλώσσα των μετασχηματισμών, παρατηρούμε ότι το σύνολο των διπλά άπειρων χρονοσειρών απο Β και Η συνιστά κάποιον χώρο, και ένας φυσικός μετασχηματισμός αυτού του χώρου είναι η μετατόπιση, ας πούμε εκείνη που μετακινεί τον χρόνο μπροστά κατά μία μέρα (ως εκ τούτου η μετατόπιση μετατρέπει την προηγούμενη χρονοσειρά στην  . . . Η Β Β Η Η (Β) Β Β Η . . .) Ένα κατάλληλο μέτρο μπορεί να εξαχθεί από τις πιθανότητες βροχής και ηλιοφάνειας αντίστοιχα στις διάφορες ημέρες. Αυτό το μέτρο όμως είναι αναλλοίωτο και θα διατηρηθεί μετά τη μετατόπιση, αφού η αρχική διεργασία είναι στάσιμη στοχαστική.

Πολλές φορές η συμπεριφορά ενός  γενικότερου συστήματος (όπως ο καιρός, τα ρεύματα στην ατμόσφαιρα ή οι διεργασίες που λαμβάνουν χώρα εντός του οργανισμού μας) επηρεάζεται από την τυχαία επιρροή επιμέρους τμημάτων του. Μια μικρή διαφοροποίηση στις αρχικές συνθήκες μπορεί να έχει πολύ μεγάλο αντίκτυπο στην τελική κατάσταση που θα ισορροπήσει το σύστημα. Τότε λέμε πως το σύστημα περιγράφεται με την βοήθεια στοχαστικών δυναμικών διεργασιών. Έχουν αναπτυχθεί εργαλεία για τη μελέτη αυτών των διεργασιών, όπως η εντροπία Κολμογκόροφ-Σινάι (K-S), που μάλιστα καθορίζουν  ποσότητες που παραμένουν αναλλοίωτες, ακόμη κι όταν μέρη του συστήματος φανερώνουν απρόβλεπτη συμπεριφορά. Η συμπεριφορά συστημάτων με εντροπία Κ-S ίση με το μηδέν μπορεί να προβλεφθεί πλήρως, αλλιώς τα συστήματα εμπεριέχουν χαοτική συμπεριφορά. Η εντροπία Κ-S σχετίζεται με το κατά πόσο είναι πιθανό σε ένα σύστημα να συμβούν όλες οι πιθανές καταστάσεις. Όπως προείπαμε, ένα σύστημα το οποίο είναι πιθανό να καταλήξει σε ΟΛΕΣ τις δυνατές καταστάσεις κατά την εξέλιξη του (όπως πχ ένα ζάρι που "επισκέπτεται" και τις 6 έδρες του)  είναι εργοδικό.

Στις τελευταίες εννέα παραγράφους της παρούσας ανάρτησής μου παραθέτω μία... εύτολμη συνοπτική απόπειρα συσχετισμού των προηγούμενων ιδεών με τη θεμελιώδη θεματολογία της θεωρίας ισομορφισμών:

Ισομορφισμοί: Ας υποθέσουμε ότι στο προαναφερθέν ιδεατό τραπέζι του μπιλιάρδου ανταλλάσουμε τον χρωματισμό των συγκεκριμένων περιοχών από άσπρο σε μαύρο και αντίστροφα. Επακόλουθο είναι ότι θα έχουμε μία νέα, διαφορετική διεργασία. Όμως, η νέα διεργασία θα είναι ισοδύναμη με την αρχική, κατά την έννοια ότι αν γνωρίζουμε το αποτέλεσμα της μίας διεργασίας απείρως μακριά στο μέλλον και στο παρελθόν, αυτό θα μας "πει" το αποτέλεσμα της άλλης. Χοντρικά, μπορούμε να πούμε ότι δύο διεργασίες είναι ισόμορφες, όταν υπάρχει ένας όμορφος τρόπος να αντιστοιχίζουμε τα αποτελέσματα της μίας στα αποτελέσματα της άλλης, έτσι ώστε το ένα αποτέλεσμα να καθορίζει το άλλο. Γενικά, το να προσδιορίζουμε αν υπάρχουν τέτοιες αντιστοιχίσεις είναι σχεδόν αδύνατο, όμως υπάρχουν τρόποι να γίνει αυτό σε ορισμένες περιπτώσεις.

Εργοδικότητα: Μία τυχαία διεργασία είναι εργοδική, αν ο χρονικός μέσος όρος μιας χρονοσειράς παρατηρήσεων είναι ίδιος με τον χρονικό μέσο όρο σε όλο τον χώρο φάσεων (καταστάσεων) του συστήματος, αρκεί το δείγμα να είναι επαρκώς μεγάλο. Αυτό σημαίνει ότι μία δειγματοληψία μας δίνει πληροφορίες για το σύστημα. Όμως, μία εργοδική διεργασία ή μετασχηματισμός δε μπορεί να εκφρασθεί ως συνδυασμός δύο απλούστερων διεργασιών (ή μετασχηματισμών.)  Πχ, ας φανταστούμε μία διεργασία, η οποία, αφού πρώτα επιλέξουμε έναν τυχαίο άνθρωπο, έχει ως αποτέλεσμα μία τεράστια χρονοσειρά από "Δ" και "A", σύμφωνα με το ποιό χέρι χρησιμοποιεί για να ανοίξει όλα τα χερούλια πόρτας που θα χρειαστεί ν' ανοίξει στη ζωή του. Αυτή η διεργασία σίγουρα δεν πρόκειται να είναι εργοδική, αφού ο χαρακτήρας των αποτελεσμάτων της είναι δυνατόν να κατανεμηθεί με εντελώς προβλέψιμο τρόπο, που εξαρτάται από το αν ο επιλεγείς άνθρωπος είναι δεξιόχειρας ή αριστερόχειρας. Αν υποθέσουμε ότι το ποσοστό των αριστερόχειρων στον γενικό πληθυσμό είναι 0,1 τότε όλη η διεργασία μπορεί να εκφρασθεί ως 0,1 Χ (διεργασία αριστερόχειρων) + (0,9 Χ (διεργασία δεξιόχειρων)

Εργοδικό θεώρημα Birkhoff: Όταν ένας εργοδικός μετασχηματισμός εφαρμόζεται επαναληπτικά έτσι ώστε να καταλήξει σε μία εργοδική διεργασία, τότε με πιθανότητα 1 (δηλ. με βεβαιότητα)  η συχνότητα στο χρόνο που ένα αποτέλεσμα παραμένει σε ένα συγκεκριμένο σύνολο αποτελεσμάτων (δηλαδή καταστάσεων ή φάσεων ή σημείων),  είναι ασυμπτωτικά το μέτρο του εν λόγω συνόλου.

Θεώρημα πύργου του Rohlin: Ας επιλέξουμε έναν αυθαίρετο θετικό ακέραιο, πχ τον 533.  Για κάθε μετασχηματισμό Τ που διατηρεί το μέτρο, μπορούμε να διαχωρίσουμε τον χώρο καταστάσεων (ή φάσεων, ή σημείων) σχεδόν σε 533 ισομεγέθη ξένα σύνολα A1 , . . . , A533 , έτσι ώστε αν διαμοιράσουμε τα σύνολα σαν τις βαθμίδες μιας σκάλας, τότε ο μετασχηματισμός συνίσταται απλούστατα στο να ανεβαίνουμε την σκάλα, δηλ.  T ( A i ) = A i+1 ,  T ( A i+1 ) = A i+2  κλπ

Θεώρημα των Shannon–McMillan–Breiman: Ας θεωρήσουμε μία εργοδική διεργασία, η οποία καταλήγει σε αποτελέσματα διπλά άπειρων χρονοσειρών (δηλ άπειρων και από τα δύο άκρα τους) που αποτελούνται από "α" και"β".  Αν επιλέξουμε από αυτές μία τυχαία  διπλά άπειρη χρονοσειρά, τότε με πιθανότητα "1" (δηλ βεβαιότητα),  όταν κατασκευάσουμε από αυτήν και εξετάσουμε την προκύπτουσα χρονοσειρά  που αποτελείται από πεπερασμένες αρχικές χρονοσειρές (όπως πχ  α, αβ, αββ, αββα, αββαα, . . . .), η εν λόγω χρονοσειρά θα έχει πιθανότητα εμφάνισης που θα προσεγγίζει ασυμπτωτικά έναν σταθερό ρυθμό εκθετικής μείωσης. Επιπλέον, αυτός ο ρυθμός εκθετικής μείωσης δεν θα εξαρτάται από την χρονοσειρά που τυχαία θα επιλέξουμε στην αρχή.

Εντροπία: Ο εκθετικός ρυθμός μείωσης που μόλις προαναφέρθηκε ονομάζεται εντροπία της διεργασίας. Όπως είπαμε, ουσιαστικά όλες οι "διπλά" άπειρες χρονοσειρές έχουν τον ίδιο ρυθμό εκθετικής μείωσης.  Ας ονομάσουμε "εύλογα ονόματα" όσες διπλά άπειρες χρονοσειρές έχουν πιθανότητα εμφάνισης που τείνει στον ίδιο σταθερό ρυθμό εκθετικής μείωσης. Τότε, ο πληθικός αριθμός  (πλήθος) των "εύλογων ονομάτων"  ισούται κατά προσέγγιση με  το αντίστροφο αυτής της εκθετικά φθίνουσας πιθανότητας, δηλαδή είναι μία ποσότητα που αυξάνεται με σταθερό εκθετικό ρυθμό.  Συνεπώς η εντροπία μπορεί επίσης να ορισθεί και ως ο ασυμπτωτικός ρυθμός αύξησης του πλήθους των "εύλογων ονομάτων". 

Αναλλοίωτη εντροπία Kolmogorov: Οποιεσδήποτε δύο ισόμορφες διεργασίες οφείλουν να έχουν την ίδια εντροπία. Αυτό το θεώρημα παρέχει έναν γρήγορο τρόπο για να πιστοποιήσουμε αν δύο διεργασίες δεν είναι ισόμορφες, και συγκεκριμένα, όταν έχουν διαφορετικές εντροπίες. 

Ανεξάρτητη διεργασία: Μία στάσιμη στοχαστική διεργασία (δηλ ανεξάρτητη του χρόνου) που επεξεργάζεται ένα "αλφάβητο", έτσι ώστε το κάθε επόμενο "γράμμα" που εμφανίζεται στην προκύπτουσα χρονοσειρά (αποτέλεσμα) να είναι πάντα ανεξάρτητο από εκείνα τα "γράμματα" που ήρθαν προηγουμένως, ονομάζεται ανεξάρτητη διεργασία. Πχ, η επανειλημένη ρίψη ενός ζαριού (δίκαιου ή ακόμα και μη αμερόληπτου ζαριού) αφορά μία ανεξάρτητη διεργασία.

Θεώρημα ισομορφισμού του Ornstein: Αυτό το αυστηρό θεώρημα αποδεικνύει ότι δύο στάσιμες ανεξάρτητες στοχαστικές διεργασίες είναι ισόμορφες ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ έχουν την ίδια εντροπία.  Πράγματι, οι καθιερωμένες αποδείξεις του θεωρήματος μας υποδηλώνουν ακόμα περισσότερα,  καθόσον μας προσφέρουν μία εντελώς φυσική συνθήκη που μπορεί να ελεγχθεί σε πολλές περιπτώσεις, έτσι ώστε δύο οποιεσδήποτε διεργασίες που έχουν την ίδια εντροπία και ικανοποιούν την εν λόγω συνθήκη, οφείλουν να είναι ισόμορφες. Αυτό έχει οδηγήσει στην εκπληκτική συνειδητοποίηση ότι ένας αρκετά μεγάλος αριθμός τάξεων συστημάτων που διατηρούν το μέτρο και δεν δείχνουν καθόλου όμοια με την ρίψη ζαριών ή νομισμάτων, είναι στην πραγματικότητα ισόμορφα με ανεξάρτητες διεργασίες. 


Θέλω να βλέπω τα παραπάνω σαν μία χαραμάδα προσπέλασης ενός μικρού μέρους της ομορφιάς που αναδύουν οι προαναφερθείσες αφαιρετικές έννοιες, οι οποίες παρουσιάστηκαν ακροθιγώς, χωρίς τα απαραίτητα μαθηματικά που προσφέρουν την άμεση πρόσβαση στην ολότητα της μαγείας τους.


Σε κάθε μοναδική ημέρα
υπάρχουν ένα ηλιοβασίλεμα και μία ανατολή
που προσφέρονται ΕΝΤΕΛΩΣ ΔΩΡΕΑΝ.
Μη χάνετε τόσα πολλά από αυτά...



YΓ1. Κλικάρετε άφοβα τα 34 link της ανάρτησης αλλά και τις 2 εικόνες


YΓ2. Χρησιμότητα των αφαιρετικών φυσικομαθηματικών ιδεών

Σε μία από τις διαλέξεις του γύρω στο 1840, ο Michael Faraday παρουσίασε την περίεργη συμπεριφορά ενός μαγνήτη σε σχέση με ένα πηνίο (δηλαδή ένα συρμάτινο σπειροειδές κυλινδρικό τύλιγμα) συνδεδεμένου με ένα γαλβανόμετρο, που έδειχνε την παρουσία ή απουσία ηλεκτρικού ρεύματος. Στην αρχή δεν υπήρχε ρεύμα στο σύρμα, αλλά όσο ο μαγνήτης ωθείτο εντός του κοίλου κυλινδρικού πηνίου, τόσο η βελόνα του γαλβανόμετρου εκινείτο προς το ένα άκρο της κλίμακας του οργάνου, πράγμα που υποδήλωνε την ύπαρξη  ηλεκτρικού ρεύματος. Όσο ο μαγνήτης απεσύρετο από την κυλινδρική σπειροειδή δομή του πηνίου, τόσο η βελόνα γύριζε στην άλλη κατεύθυνση, πράγμα που υποδήλωνε ότι το ρεύμα έρρεε αντίθετα. Όσο ο μαγνήτης διετηρείτο ακίνητος  σε οποιαδήποτε θέση εντός του πηνίου, η βελόνα του γαλβανόμετρου ήταν ακίνητη, και συνεπώς δεν υπήρχε ροή ηλεκτρισμού.

Στο τέλος της διάλεξης, ένα μέλος του ακροατήριου προσέγγισε τον Faraday και του είπε επιτακτικά:  “Κύριε Faraday,  η συμπεριφορά του μαγνήτη και του πηνίου ήταν ενδιαφέρουσα, αλλά ποιά είναι η χρησιμότητά τους?

Ο  Faraday απάντησε ευγενικά, “Κύριε, ποιά είναι η χρησιμότητα ενός μωρού?

Ήταν ακριβώς αυτό το φαινόμενο, η χρησιμότητα του οποίου αμφισβητήθηκε έμμεσα και εντελώς αυθαίρετα από κάποιο μέλος του ακροατηρίου, που ο Faraday χρησιμοποίησε αργότερα για να αναπτύξει την ηλεκτρική γεννήτρια, η οποία, για πρώτη φορά, έκανε δυνατή τη φτηνή παραγωγή ηλεκτρισμού σε μεγάλες ποσότητες. Αυτή η εξέλιξη με τη σειρά της, έκανε δυνατή την ηλεκτρομαγνητική τεχνολογία που μας περικυκλώνει σήμερα από παντού, και που φυσικά χωρίς αυτήν η σύγχρονη ζωή φαντάζει αδιανόητη, ακόμη και στους πλέον αδαείς τεχνοφοβικούς.

Η επίδειξη του Faraday ήταν ένα νεογέννητο μωρό, που μεγάλωσε και εξελίχθηκε σε γίγαντα.