To 1963, o Edward Lorenz (1917-2008) διερευνούσε την μετάδοση θερμότητας με συναγωγή στην γήϊνη ατμόσφαιρα. Επειδή οι περίφημες εξισώσεις Navier-Stokes, που περιγράφουν την δυναμική συμπεριφορά των ρευστών, ήταν (και είναι μέχρι σήμερα !) αδύνατον να επιλυθούν στην πλήρη τους μορφή, τις απλοποίησε δραστικά χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις συναγωγής του Saltzman. Όσοι έχετε κάποια "έκνομη" ή έστω "ρομαντική" σχέση με τα Μαθηματικά, μη διστάσετε να ρίξετε μιά αδίστακτη ματιά στη σελ. 134 της ιστορικής δημοσίευσης του Lorentz !
Τελικά ο Lorenz επινόησε ένα δραματικά απλοποιημένο μαθηματικό μοντέλο. Οι εραστές της μαθηματικής λεπτομέρειας μπορούν να δουν τις εξισώσεις 25, 26 και 27 στη σελ. 135 της δημοσίευσης.
Το μοντέλο Lorenz έχει ελάχιστη σχέση με ότι λεπτομερώς συμβαίνει στην ατμόσφαιρα. Αν και ήταν ένα παιχνίδι-μοντέλο που είχε ως στόχο την κατανόηση ενός απίστευτα περίπλοκου φαινομένου, ο Lorenz σύντομα αντιλήφθηκε ότι είχε μεγάλο ενδιαφέρον από μαθηματική άποψη.
Υπάρχουν μόνο τρεις παράμετροι στο μοντέλο του (στη δημοσίευση του 1963 χρησιμοποίησε τις τιμές σ = 10, β = 8/3, ρ = 28) έτσι ώστε κάθε σημείο (x,y,z) συμβόλιζε μία ξεχωριστή κατάσταση της ατμόσφαιρας, ενώ η μεταβολή του καιρού κατέληγε σαν εξέλιξη τροχιών σε τριδιάστατο διανυσματικό χώρο φάσεων.
Το πρώτο θεαματικό εύρημα ήταν η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Δύο αρχικές καταστάσεις της ατμόσφαιρας, που πρακτικά είναι σχεδόν ίδιες, πολύ σύντομα εξελίσσονται εντελώς διαφορετικά και οι τροχιές τους αποκλίνουν δραματικά!
Όμως το δεύτερο εύρημα ήταν ασύγκριτα αντι-διαισθητικότερο ! Οι τροχιές οποιουδήποτε μεγάλου αριθμού αρχικών καταστάσεων ΠΑΝΤΑ καταλήγουν μετά απο λίγο στο ίδιο τρισδιάστατο αντικείμενο του χώρου φάσεων, που έχει το ανέλπιστο σχήμα πεταλούδας: Τον υπέροχο ελκυστή του Lorenz ! Έναν παράξενο ελκυστή...
ΥΓ. Είναι... υποχρεωτικό το κλικάρισμα στην παραπάνω εικόνα !
:)
No comments:
Post a Comment