Αρκετές ευκαιρίες και πιθανότητες

 

Αν δοθούν αρκετές ευκαιρίες, η εμφάνιση ενός απίθανου γεγονότος είναι πολύ πιθανή, όσο απίθανο κι' αν είναι αυτό το γεγονός αν εξεταστεί αυτοτελώς. 'Ετσι λοιπόν, συνήθως νομίζουμε ότι κάποιο γεγονός είναι εξαιρετικά απίθανο, ενώ στην πραγματικότητα είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα συμβεί! Και φυσικά δεν πρόκειται ούτε για αντίφαση, αλλά ούτε για ... θαύμα!

Η συντριπτική πλειοψηφία των ανθρώπων δεν αντιλαμβάνονται την συνοδευτική ύπαρξη ενός τεράστιου αριθμού ευκαιριών, που ευνοούν την ανάδυση του ... απίθανου! Ευτυχώς όμως, που η Συνδυαστική Ανάλυση ανοίγει τα μάτια σε λίγους και έτσι ΔΕΝ ΥΠΟΤΙΜΟΥΜΕ την συχνότητα εμφάνισης των απίθανων γεγονότων, διότι ο αριθμός των συνδυασμών μεταξύ αλληλεπιδρώντων στοιχείων αυξάνεται εκθετικά με τον αριθμό των στοιχείων. Το πασίγνωστο Πρόβλημα των Γενεθλίων θα μας βοηθήσει να ψηλαφήσουμε την παραπάνω θέση.

Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα δύο τυχαίων ανθρώπων σε μία αίθουσα να γεννήθηκαν την ίδια μέρα. Για να θέσω την ερώτηση διαφορετικά - τουλάχιστον πόσοι άνθρωποι θα πρέπει να βρίσκονται σε μία αίθουσα, ώστε να είναι πιό πιθανό 2 από αυτούς να έχουν τα ίδια γενέθλια? 

Προκαταβολικά σας λέω ότι η απάντηση είναι 23. Δηλαδή, αν υπάρχουν ΜΟΛΙΣ 23 άνθρωποι σε μία αίθουσα, είναι ΠΙΟ ΠΙΘΑΝΟ δύο από αυτούς να έχουν τα ίδια γενέθλια (δηλ. είναι λιγότερο πιθανό το να μην "μοιράζεται" κανένας από τους 23 κοινά γενέθλια με τους υπόλοιπους 22!)

Η απάντηση 23 προκύπτει ως εξής. Για δύο τυχαίους ανθρώπους μέσα στην αίθουσα, η πιθανότητα ο δεύτερος να μην έχει τα ίδια γενέθλια με τον πρώτο είναι 364/365. Στη συνέχεια, η πιθανότητα ενός τρίτου να μην μοιράζεται τα ίδια γενέθλια με κανέναν από το πρώτο τυχαίο ζευγάρι, είναι 364/365 × 363/365. Παρομοίως, η πιθανότητα αυτού του τυχαίου τρίο να μην έχει τα ίδια γενέθλια με έναν τέταρτο που βρίσκεται στην αίθουσα, είναι 364/365 × 363/365 × 362/365. Συνεχίζοντας με αυτό τον τρόπο βρίσκουμε ότι η πιθανότητα 23 ανθρώπων να ΜΗΝ έχουν τα ίδια γενέθλια είναι 364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365 … × 343/365. Αν κάνετε τις πράξεις θα βρείτε 0,49. Αφού η πιθανότητα ΚΑΝΕΝΑΣ από τους 23 ανθρώπους στην αίθουσα να μην έχει τα ίδια γενέθλια με τους υπόλοιπους είναι 0,49 (δηλαδή 49%), τότε η πιθανότητα μερικοί από αυτούς να έχουν τα ίδια γενέθλια είναι 1 − 0,49 = 0,51 (δηλαδή 100% - 49% = 51%) που είναι περισσότερο από το μισό και άρα ΠΙΟ ΠΙΘΑΝΟ ! 

ΥΓ1. Με παρόμοιο υπολογισμό βρίσκουμε ότι η πιθανότητα 99% για ίδια γενέθλια, επιτυγχάνεται ΜΟΛΙΣ με 57 ανθρώπους! 

ΥΓ2. Με παρόμοια μέθοδο - όπως στο Πρόβλημα των Γενεθλίων - βρίσκουμε ότι η  υπέρβαση της πιθανότητας 50% για την εμφάνιση 2 φορές της ίδιας εξάδας αριθμών στο LOTTO, επιτυγχάνεται σε 4.404 κληρώσεις (ευκαιρίες!) Συγκεκριμένα, με 2 κληρώσεις την εβδομάδα απαιτούνται λιγότερο από 43 χρόνια για να κληρωθεί ξανά η ίδια εξάδα με περισότερες πιθανότητες από τις μισές. Αν μάλιστα λάβουμε υπόψη ΟΛΕΣ τις κληρώσεις στον κόσμο, το απίθανο θα ήταν να μην συμβαίνουν τέτοιες επαναλήψεις, όπως πχ στο Βουλγαρικό LOTTO, όταν στα 52 χρόνια της ιστορίας του, σημειώθηκε επανάληψη των αριθμών 4, 15, 23, 24, 35 και 42 και μάλιστα σε δύο συνεχόμενες κληρώσεις, στις 6 και 10 Σεπτεμβρίου 2009!

ΥΓ3. Κλικάρετε αδίστακτα τους 5 συνδέσμους (link) του κειμένου !

:)