Άγρια πολυγωνική ομορφιά

  Κατασκευή κανονικού δεκαεπτάγωνου με κανόνα και διαβήτη   

Ορισμένα κανονικά πολύγωνα (πχ τρίγωνο, τετράγωνο, πεντάγωνο και εξάγωνο) κατασκευάζονται πολύ εύκολα με κανόνα (απλό χάρακα χωρίς υποδιαιρέσεις)  και διαβήτη.  Άλλα κανονικά πολύγωνα, όχι! 

Αυτό οδήγησε στο ερώτημα: Είναι δυνατή η κατασκευή ΟΛΩΝ των κανονικών πολυγώνων με μη βαθμονομημένο χάρακα και διαβήτη? 

Το ερώτημα απαντήθηκε 21 αιώνες μετά την πανάρχαια σύλληψή του!

Το 1796 ΚΕ, ο Gauss έδειξε ότι ένα κανονικό 17-πλευρο πολύγωνο μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη, ενώ πέντε χρόνια αργότερα απέδειξε και την ικανή συνθήκη για την κατασκευή κανονικών πολυγώνων "ν-πλευρών" με κανόνα και διαβήτη, τεκμηριώνοντας ότι οι περιττοί πρώτοι παράγοντες του "ν" ΑΡΚΕΙ  να είναι διακεκριμένοι πρώτοι αριθμοί Fermat ! 

Τα αναρίθμητα κατασκευάσιμα πολύγωνα έχουν κατά σειρά τον ακόλουθο ενδεικτικό αριθμό πλευρών: 

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257,  272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285... 65535, 65537... κλπ 

Το θεώρημα των Gauss - Wantzel "οδηγεί" ταυτόχρονα και στα κανονικά πολύγωνα που ΔΕΝ είναι κατασκευάσιμα με κανόνα και διαβήτη – βλ. επόμενη απειροπληθή λίστα:

7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 90, 91... κλπ

Μεταξύ άλλων, οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν από την εποχή του Ευκλείδη (300 ΠΚΕ) πως να κατασκευάζουν κανονικά τρίγωνα και πεντάγωνα, αλλά ατυχώς αυτά ήταν τα μόνα κανονικά πολύγωνα με πρώτο αριθμό πλευρών, που έφτιαχναν χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη. Tους "ξέφευγαν" τρία κατασκευάσιμα πολύγωνα με πρώτο αριθμό πλευρών: το 17-γωνο, το 257-γωνο και το 65537-γωνο !!! Όμως, ήξεραν πως να διπλασιάζουν τις πλευρές πολυγώνων, καθώς και να συνδυάζουν δύο κανονικά πολύγωνα – πχ τρίγωνο με πεντάγωνο για κατασκευή δεκαπεντάγωνου – με τον περιορισμό οι αντίστοιχοι αριθμοί πλευρών να είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους.

Ούτως ή άλλως οι... πρόγονοί μας είχαν μαθηματικούς άλλης κλάσης!

  Άραγε σκέφτεται ποτέ κανένας τον...  δόλιο κύριο Jones?


YΓ1. Κλικάρατε εύτολμα τις 2 εικόνες και τους... 43 συνδέσμους ?

YΓ2. Πετάτε συχνά με τη φαντασία σας ?

:)