Άγρια πολυγωνική ομορφιά

  Κατασκευή κανονικού δεκαεπτάγωνου με κανόνα και διαβήτη   

Ορισμένα κανονικά πολύγωνα (πχ τρίγωνο, τετράγωνο, πεντάγωνο και εξάγωνο) κατασκευάζονται πολύ εύκολα με κανόνα (απλό χάρακα χωρίς υποδιαιρέσεις)  και διαβήτη.  Άλλα κανονικά πολύγωνα, όχι! 

Αυτό οδήγησε στο ερώτημα: Είναι δυνατή η κατασκευή ΟΛΩΝ των κανονικών πολυγώνων με μη βαθμονομημένο χάρακα και διαβήτη? 

Το ερώτημα απαντήθηκε 21 αιώνες μετά την πανάρχαια σύλληψή του!

Το 1796 ΚΕ, ο Gauss έδειξε ότι ένα κανονικό 17-πλευρο πολύγωνο μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη, ενώ πέντε χρόνια αργότερα απέδειξε και την ικανή συνθήκη για την κατασκευή κανονικών πολυγώνων "ν-πλευρών" με κανόνα και διαβήτη, τεκμηριώνοντας ότι οι περιττοί πρώτοι παράγοντες του "ν" ΑΡΚΕΙ  να είναι διακεκριμένοι πρώτοι αριθμοί Fermat ! 

Τα αναρίθμητα κατασκευάσιμα πολύγωνα έχουν κατά σειρά τον ακόλουθο ενδεικτικό αριθμό πλευρών: 

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257,  272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285... 65535, 65537... κλπ 

Το θεώρημα των Gauss - Wantzel "οδηγεί" ταυτόχρονα και στα κανονικά πολύγωνα που ΔΕΝ είναι κατασκευάσιμα με κανόνα και διαβήτη – βλ. επόμενη απειροπληθή λίστα:

7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 90, 91... κλπ

Μεταξύ άλλων, οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν από την εποχή του Ευκλείδη (300 ΠΚΕ) πως να κατασκευάζουν κανονικά τρίγωνα και πεντάγωνα, αλλά ατυχώς αυτά ήταν τα μόνα κανονικά πολύγωνα με πρώτο αριθμό πλευρών, που έφτιαχναν χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη. Tους "ξέφευγαν" τρία κατασκευάσιμα πολύγωνα με πρώτο αριθμό πλευρών: το 17-γωνο, το 257-γωνο και το 65537-γωνο !!! Όμως, ήξεραν πως να διπλασιάζουν τις πλευρές πολυγώνων, καθώς και να συνδυάζουν δύο κανονικά πολύγωνα – πχ τρίγωνο με πεντάγωνο για κατασκευή δεκαπεντάγωνου – με τον περιορισμό οι αντίστοιχοι αριθμοί πλευρών να είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους.

Ούτως ή άλλως οι... πρόγονοί μας είχαν μαθηματικούς άλλης κλάσης!

  Άραγε σκέφτεται ποτέ κανένας τον...  δόλιο κύριο Jones?


YΓ1. Κλικάρατε εύτολμα τις 2 εικόνες και τους... 43 συνδέσμους ?

YΓ2. Πετάτε συχνά με τη φαντασία σας ?

:)

Αιώνιο ψήγμα χρυσού

  Εικ 1: Aπό το βιβλίο STRING THEORY, Vol I του Joseph Polchinski

Η συντριπτική πλειοψηφία των ανθρώπων θεωρεί ότι η ad infinitum πρόσθεση των φυσικών αριθμών οδηγεί στο άπειρο. Όμως τα video του δημοσιογράφου Brady Haran — με τους Ed Copeland και Tony Padilla, που είναι Φυσικοί στο παν/μιο Nottingham της Αγγλίας — υπενθυμίζουν (μεταξύ άλλων) τον πανέμορφο υπολογισμό του Euler, που σύμφωνα με τον καθηγητή του Berkeley Edward Frenkel, είναι ένα από τα καλύτερα κρυμμένα "μυστικά" των Μαθηματικών — βεβαίως σε "πείσμα" κάποιου αδίστακτου κλικ στην 2η εικόνα της ανάρτησης!

Ιδού το δέος:    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... ad infinitum  =  - 1/12      !!!!! 

Παρά τις συναδελφικές γκρίνιες (βλ. ΥΓ3) υπάρχει ευρύτατη συμφωνία για το ότι μία πιό αυστηρή προσέγγιση στο πρόβλημα δίνει το ίδιο αποτέλεσμα, όπως φαίνεται από τον τύπο (1.3.32) στη σελίδα 22 του πρώτου τόμου του εξαιρετικού δίτομου έργου “String Theory” του  Joseph Polchinski.

Ας μην ανησυχούν όσοι δε θυμούνται ή δε γνωρίζουν... βέσπα, δηλ. μιγαδικές επεκτάσεις και λοιπά συναφή που διδάσκονται στα παν/μια. Οι δύο απλούστατες αποδείξεις του επίμαχου αθροίσματος — που "κρύβονται" κυρίως στη 2η εικόνα και δευτερευόντως στο παραπάνω video — είναι εύληπτες και εύκολα μπορεί να τις παρακολουθήσει ο καθένας. Όσον αφορά το video που "κρύβεται" στην 1η εικόνα, η ιδιοφυής προσέγγιση του Edward Frenkel είναι ανεπανάληπτη !

 Εικ 2: Nαι! Xρησιμοποιείται στη Θεωρία Χορδών και στη Κβαντομηχανική Θεωρία Πεδίων

ΥΓ1. Διευκρινίζω ότι το δάχτυλο της 1ης εικόνας δεν είναι δικό μου, αλλά... ανήκει στον Dr Tony Padilla !

ΥΓ2. Κλικάρετε ανηλεώς το video, τις εικόνες και τα link στο κείμενο!

ΥΓ3. Υπάρχει και συναρπαστικός αντίλογος (πχ εδώ και εδώ) 

ΥΓ4. Το “Love and Math: The Heart of Hidden Reality” είναι ένα εκπληκτικό βιβλίο του μαθηματικού Edward Frenkel, που διάβασα πρόσφατα και προτείνω ανεπιφύλακτα.

:)

Don't go to strangers

Build your dreams to the stars above

But when you need someone true to love,

Don't go to strangers darling, come home to me.

Play with fire till your fingers burn,

And when there's no place for you to turn,

Don't go to strangers darling, come home to me.

For, when you hear a call to follow your heart,

You'll follow your heart I know.

I've been through it all, and I'm an old hand,

And I'll understand if you go! So,

Make your mark for your friends to see

But when you need more than company

Don't go to strangers, come home to me.

YΓ1.  Θεσπέσια και τα 2 video .. μουσική "απόσταση" 46 χρόνων !

ΥΓ2. Κάτι "κρύβουν" οι 2 εικόνες και τα 3 link  .. αν θέλετε βρείτε το ..

:)

Ο θρίαμβος της αφαίρεσης

To παρακάτω πολυβραβευμένο μικρό video δείχνει την ομορφιά των Μαθηματικών σε ελάχιστο χρόνο, χωρίς προαπαιτούμενα !

Η αφαίρεση βρίσκεται στη καρδιά των Μαθηματικών. Τα κάνει όμορφα, αυστηρά, χρήσιμα και ... μυστικιστικά.

Γενικά οι εικόνες δαμάζουν το .. τέρας της αφαίρεσης, αλλά ένα video τα καταφέρνει πολύ καλύτερα , όπως θα δείτε παρακάτω:

Δεν είναι όμορφος ο μετασχηματισμός Möbius? Τολμώ να υποθέσω ότι .. συμφωνείτε !

ΥΓ1: Αν και δεν είναι απαραίτητο, όσοι θέλουν, μπορούν να διαβάσουν ένα άρθρο με το το σχετικό μαθηματικό υπόβαθρο, που δημοσιεύθηκε στο περιοδικό της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρίας.

ΥΓ2: Προτείνω να εξερευνήσετε το κρυμμένο περιεχόμενο των 5 συνδέσμων και των 2 εικόνων.

:)