Η Υπόθεση Riemann για... φιλόλογους!

O περίφημος Άγγλος μαθηματικός G. H. Hardy όταν αντιμετώπισε ένα πολύ επικίνδυνο θαλάσσιο ταξίδι, έγραψε στα γρήγορα μία κάρτα για ένα φίλο του με τα εξής λόγια : "Απέδειξα την υπόθεση Riemann". Όπως εξήγησε αργότερα έχοντας επιβιώσει απο το ταξίδι, αυτή η πράξη του ήταν ένα ασυνήθιστο συμβόλαιο ζωής, επειδή αν υπήρχε θεός δεν θα άφηνε έναν αθεϊστή να πεθάνει σε ναυάγιο και να καρπωθεί την μεταθανάτια δόξα για την επίλυση του πιό διάσημου μαθηματικού προβλήματος.

Σχεδόν ένα αιώνα μετά η υπόθεση Riemann παραμένει αναπόδεικτη. Η λάμψη της είναι απαράμιλλη επειδή κρατάει το κλειδί των πρώτων αριθμών, αυτών των μυστήριων οντοτήτων που επηρεάζουν καθοριστικά τα μαθηματικά.

Υπάρχουν ενδείξεις ότι η λύση του προβλήματος μπορεί να είναι κοντά, και ότι οι πλέον υποσχόμενες προσεγγίσεις δεν προέρχονται απο τον μαθηματικό χώρο, αλλά απο την Φυσική!

Έχει εντοπιστεί μια βαθύτατη σύνδεση μεταξύ της υπόθεσης Riemann και του φυσικού κόσμου, μία σύνδεση που όχι μόνο θα μπορούσε να αποδείξει την υπόθεση, αλλά και να φωτίσει την δυσνόητη συμπεριφορά των ατόμων, των μορίων και γενικά των περίπλοκων συστημάτων του μικρόκοσμου.

Οι πρώτοι αριθμοί είναι οι βασικοί δομικοί λίθοι των Μαθηματικών. Επιπλέον είναι ζωτική η σημασία τους στην κρυπτογραφία και στην αυξανόμενη σπουδαιότητα του διαδικτυακού εμπορίου και των συστημάτων ασφαλείας.
 
Φαίνονται απλοί με μία "πρώτη" ματιά. Είναι αριθμοί όπως οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 κλπ, που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και το 1 (η μονάδα δεν συμπεριλαμβάνεται στους πρώτους). Ο Ευκλείδης πρώτος απέδειξε οτι οι πρώτοι δεν έχουν τέλος, δηλαδή ότι είναι άπειροι.

Οι πρώτοι είναι τα άτομα του αριθμητικού συστήματος, επειδή o κάθε ένας απο τους υπόλοιπους σύνθετους αριθμούς (που δεν είναι πρώτοι) συντίθεται με μοναδικό τρόπο, και συγκεκριμένα με τον πολλαπλασιασμό πρώτων αριθμών (πχ 3 Χ 7 = 21). Δυστυχώς δεν υπάρχει περιοδικός πίνακας γιά τους πρώτους, που είναι απρόβλεπτοι μέχρι τρέλας. Η εύρεση νέων πρώτων είναι κατά κανόνα ζήτημα δοκιμής και λάθους.

Τον 19ο αιώνα οι μαθηματικοί βρήκαν λίγη τάξη στο φαινομενικό αυτό χάος. Αν και ο κάθε πρώτος ξεπετιέται αναπάντεχα, η συνολική κατανομή τους ακολουθεί μία τάση, όπως πχ η ρίψη ενός νομίσματος, όπου το αποτέλεσμα είναι μεν απρόβλεπτο, αλλά μετά απο πολλές ρίψεις περιμένουμε να έχουμε περίπου μισές κορώνες και μισά γράμματα.

Οι πρώτοι αριθμοί γίνονται όλο και πιό σπάνιοι όσο ψάχνουμε για μεγαλύτερους (δείτε το διάγραμμα), και οι μαθηματικοί διαπίστωσαν ότι αυτή η αραίωσή τους είναι προβλέψιμη. Η συνάρτηση μέτρησης πρώτων π(x) μετρά το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι από κάποιο δεδομένο αριθμό x. Tο 1792 ο Gauss, σε ηλικία 15 ετών, βρήκε ότι η συνάρτηση μέτρησης πρώτων π(x) υπολογίζεται "περίπου" απο τον τύπο x/ln(x), όπου ln(x) είναι ο φυσικός λογάριθμος του x. Έτσι, για παράδειγμα, υπάρχουν περίπου 400.000.000 πρώτοι αριθμοί (ποσοστό ~ 4%) που είναι μικρότεροι απο τον αριθμό 10.000.000.000 !
 

Μέχρι εδώ καλά. Αλλά όμως αυτό το "περίπου" είναι πολύ ασαφές. Οι αριθμοί είναι προϊόντα της απλής λογικής και θα όφειλαν να συμπεριφέρονται με ακριβή και κανονικό τρόπο. Οι μαθηματικοί θα ήθελαν τουλάχιστον να γνωρίζουν πόσο "απέχουν" οι πρώτοι απο την προαναφερθείσα κατανομή.

Ευτυχώς, ο Bernhard Riemann βρήκε ένα ζωτικό μονοπάτι. Το 1859, ανακάλυψε οτι τα μυστικά των πρώτων είναι κλεισμένα μέσα σε ένα μαθηματικό αντικείμενο που ονομάζεται συνάρτηση ζήτα . Η συνάρτηση ζήτα είναι απλά μία ιδιαίτερη διαδικασία μετατροπής ενός αριθμού σε έναν άλλο.

Ο Riemann αποφάσισε να διερευνήσει τι συμβαίνει όταν η συνάρτηση ζήτα τροφοδοτηθεί με μιγαδικούς αριθμούς, δηλαδή αριθμούς που είναι κατασκευασμένοι να έχουν ένα "πραγματικό μέρος" (ένα συνηθισμένο αριθμό) και ένα "φανταστικό μέρος" (ένα πολλαπλάσιο του i, την τετραγωνική ρίζα του -1). Επειδή ένας μιγαδικός αριθμός καθορίζεται απο 2 αριθμούς, τους φανταζόμαστε σε ένα μιγαδικό επίπεδο, με τους πραγματικούς στον οριζόντιο άξονα και τους φανταστικούς στον κάθετο άξονα. O Bernhard Riemann βρήκε ότι ορισμένοι αριθμοί όταν εισαχθούν στη συνάρτηση ζήτα, παράγουν το αποτέλεσμα μηδέν. Αυτές είναι οι περίφημες ρίζες της συνάρτησης ζήτα. Τα λίγα μηδενικά που κατάφερε να υπολογίσει βρίσκονταν ΟΛΑ σε μία κάθετη γραμμή στο μιγαδικό επίπεδο, και έτσι υπέθεσε ότι, εξαιρώντας ορισμένες τετριμμένες περιπτώσεις, ΟΛΑ τα άπειρα μηδενικά θα πρέπει να βρίσκονται ακριβώς επάνω σε αυτή την κρίσιμη ευθεία ! Aυτή είναι η υπόθεση Riemann.

Τι σχέση έχουν τα παραπάνω με τους πρώτους ? Αν σχεδιάσουμε τα πλήθη των πρώτων που υπάρχουν κάτω απο διαφορετικούς αριθμούς, αυτό που προκύπτει είναι μία ομαλή καμπύλη με υπερτιθέμενους ακανόνιστους κυματισμούς, δηλαδή ο κανόνας του x/ln(x), συν επιπρόσθετες αποκλίσεις.

Το κρίσιμο σημείο είναι οτι μπορούμε να φανταστούμε αυτές τις αποκλίσεις σαν ένα κύμα. Όπως ένα ακανόνιστο ηχητικό κύμα, έτσι και αυτό το γράφημα των ακανόνιστων αποκλίσεων συντίθεται απο πολλές συχνότητες (ανάλυση Fourier). Τι είναι όμως αυτές οι συχνότητες ? Απλούστατα, είναι τα μηδενικά (οι ρίζες) του Riemann ! Τα μηδενικά είναι η μουσική των πρώτων αριθμών !!

Ο Riemann υπολόγισε ότι αν η υπόθεσή του είναι αληθής και τα μηδενικά όντως κείνται στην κρίσιμη ευθεία, τότε οι πρώτοι αριθμοί αποκλίνουν απο την κατανομή x/ln(x) ακριβώς όπως και οι ρίψεις νομισμάτων αποκλίνουν απο την κατανομή 50:50. Αυτό είναι ένα καταπληκτικό συμπέρασμα ! Οι πρώτοι δεν είναι απλά απρόβλεπτοι, στην πραγματικότητα συμπεριφέρονται σαν ο καθένας τους να επιλέγεται τυχαία με πιθανότητα 1/ln(x), σχεδόν σαν να επιλέγονται με σταθμισμένο νόμισμα. Έτσι λοιπόν οι πρώτοι είναι μέχρι ενός σημείου εξημερωμένοι, επειδή μπορούμε να κάνουμε στατιστικές προβλέψεις γι' αυτούς, όπως και για τις ρίψεις νομισμάτων. Όμως όλα τα παραπάνω ισχύουν ΜΟΝΟ αν αληθεύει η υπόθεση Riemann ! Αν ΟΛΑ τα μηδενικά δεν ευθυγραμμιστούν επάνω στην κρίσιμη ευθεία, τότε οι πρώτοι αριθμοί είναι πολύ πιό απείθαρχοι από όσο νομίζουμε. Ενδεχόμενη αστοχία της υπόθεσης Riemann θα δημιουργούσε όλεθρο στην κατανομή των πρώτων, και εκατοντάδες μαθηματικά θεωρήματα που βασίζονται στην αλήθεια της υπόθεσης Riemann θα ήταν για τα σκουπίδια !

Γι' αυτό το λόγο οι μαθηματικοί θέλουν να αποδείξουν ότι η περίφημη υπόθεση είναι αληθής. Αλλά πως αποδεικνύεται κάτι που αφορά άπειρους αριθμούς? Διάφοροι ερευνητές έχουν επιβεβαιώσει ότι τα πρώτα 10 τρισεκατομμύρια μηδενικά ευθυγραμμίζονται με την κρίσιμη ευθεία. Αν έστω και μόνο ένα απο αυτά δεν ήταν επάνω στην κρίσιμη ευθεία, αυτό θα αρκούσε για τον θάνατο της υπόθεσης Riemann.

Αυτό είναι μεν ενθαρυντικό αλλά δυστυχώς δεν είναι αρκετό, επειδή πάντα θα υπάρχουν άπειρα μηδενικά να ελεγχθούν. Η Θεωρία Αριθμών έχει πολλά παραδείγματα εικασιών που ήταν ευλογοφανείς και υποστηρίζονταν απο τεράστιο όγκο αριθμητικών δεδομένων, αλλά χρειάστηκε ένα μόνο αντιπαράδειγμα για να τις "σκοτώσει". Απαιτείται λοιπόν κάποια βαθύτερη ενορατική προσέγγιση.

Στις αρχές του 20ου αιώνα οι μαθηματικοί έκαναν μία τολμηρή εικασία: ότι τα μηδενικά του Riemann μπορεί να αντιστοιχούσαν με τις ενεργειακές στάθμες ενός κβαντομηχανικού συστήματος !

Η κβαντομηχανική ασχολείται με την συμπεριφορά μικροσκοπικών σωματιδίων όπως τα ηλεκτρόνια. Οι εξισώσεις της δουλεύουν κυρίως με μιγαδικούς αριθμούς, αλλά η ενέργεια ενός φυσικού συστήματος πάντοτε μετριέται απο πραγματικό αριθμό. Οι ενεργειακές στάθμες σχηματίζουν ένα άπειρο σύνολο αριθμών που κείνται κατά μήκος του πραγματικού άξονα στο μιγαδικό επιπεδο, σε ευθεία γραμμή. Αυτό μπορεί "ακούγεται" σαν τα μηδενικά του Riemann, αλλά για δεκαετίες δεν ήταν παρά ευσεβής πόθος.

Ξαφνικά το 1972 είχαμε έναν υπαινιγμό για κάτι καλύτερο. Ο Hugh Montgomery, του Πανεπιστημίου Michigan, είχε βρει έναν μαθηματικό τύπο για τις αποστάσεις μεταξύ των ριζών Riemann. Σε ένα ταξίδι του στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών στο Princeton, συναντήθηκε στο απογευματινό τσάϊ με τον φυσικό Freeman Dyson και του ανέφερε τον μαθηματικό τύπο του. Ο Dyson τον αναγνώρισε αμέσως! Ήταν ταυτόσημος με τον τύπο που έδινε τις αποστάσεις μεταξύ των ενεργειακών σταθμών μιας ειδικής κατηγορίας χαοτικών συστημάτων, τα κβαντικά χαοτικά συστήματα.

Η Θεωρία του Χάους αφορά φυσικά συστήματα τόσο ευαίσθητα στις αρχικές συνθήκες, που δεν υπόκεινται σε προβλέψεις. Πχ στη χαοτική γήϊνη ατμόσφαιρα, ένα ελάχιστο ρεύμα απο τα φτερά μιας πεταλούδας στην Κίνα, θα μπορούσε να δημιουργήσει ένα τυφώνα στη Καραϊβική. Σχεδόν όλα τα περίπλοκα συστήματα είνα χαοτικά. Οι κβαντικές εκδοχές αυτών των συστημάτων αποτελούνται απο ένα συνονθύλευμα ενεργειακών σταθμών, φαινομενικά σκορπισμένων με τυχαίο τρόπο, αλλά στην πραγματικότητα με αποστάσεις σύμφωνα με την φόρμουλα του Montgomery. Τα κβαντικά χαοτικά συστήματα συμπεριλαμβάνουν άτομα μεγαλύτερα απο το υδρογόνο, μεγάλους ατομικούς πυρήνες, όλα τα μόρια, καθώς και τα ηλεκτρόνια που παγιδεύονται σε μικροσκοπικές αρένες που ονομάζονται κβαντικές κουκίδες. Θα μπορούσαν άραγε οι ρίζες του Riemann να ταιριάξουν με τις ενεργειακές στάθμες αυτών των κβαντικών χαοτικών συστημάτων?

Στο τέλος της δεκαετίας του '80 ο Andrew Odlyzko των εργαστηρίων AT&T επέλεξε μία ποικιλία συστημάτων, και συνέκρινε τις ενεργειακές τους στάθμες με τις ρίζες Riemann. Το αποτέλεσμα ήταν μία ανακάλυψη που ηλέκτρισε μαθηματικούς και φυσικούς. Ο Odlyzko όταν υπολόγισε μέσους όρους απο πολλά διαφορετικά χαοτικά συστήματα, βρήκε ότι οι αποστάσεις των ενεργειακών τους σταθμών, ταίριαζαν με τις αντίστοιχες αποστάσεις Riemann με εκπληκτική ακρίβεια.

Όμως ούτε αυτό είναι αρκετό. Για να αποδείξουν την υπόθεση Riemann, οι ερευνητές πρέπει να εντοπίσουν ένα συγκεκριμένο κβαντικό σύστημα του οποίου οι ενεργειακές στάθμες να αντιστοιχούν ακριβώς στα μηδενικά, και να αποδείξουν ότι αυτό συμβαίνει ως το άπειρο. Ποιό απο όλα τα κβαντικά συστήματα είναι το σωστό ?

Σε ένα χαοτικό σύστημα, ένα αντικείμενο συνήθως κινείται απρόβλεπτα, αλλά μερικές φορές η διαδρομή του επανέρχεται στο εαυτό της σε "περιοδική τροχιά". Οι Berry and Keating θεωρούν ότι το σωστό κβαντικό σύστημα θα έχει μία άπειρη συλλογή περιοδικών τροχιών, μία για τον κάθε πρώτο αριθμό. Το 1999 οι Katz και Sarnak προέβλεψαν ότι ένα τέτοιο σύστημα θα πρέπει να έχει ένα ειδικό είδος συμμετρίας, που ονομάζεται συμπλεκτική συμμετρία .

Ελπίζεται ότι οι παραπάνω "άκρες" θα επιτρέψουν στους κβαντικούς "χαοτικολόγους" να πλησιάσουν και τελικά να εντοπίσουν το το ένα και μοναδικό σύστημα που θα "αποδείξει" την υπόθεση Riemann.

Βέβαια υπάρχουν και άλλες ελπιδοφόρες προσεγγίσεις όπως αυτή του Alain Connes, ο οποίος δημιούργησε ένα σύστημα γεωμετρικού χώρου καταστάσεων που ήδη περιέχει τους πρώτους αριθμούς. Για να το κατανοήσουμε αρκεί να φανταστούμε ένα κβαντικό σύστημα ΟΧΙ ως σωματίδιο που χοροπηδάει γύρω απο ένα άτομο, ΑΛΛΑ σαν ένα γεωμετρικό σχήμα ! Φαίνεται παράξενο, αλλά έτσι αναπαρίσταται μια απο τις παραξενιές των κβαντικών συστημάτων : το φαινόμενο της υπέρθεσης καταστάσεων.

Όπως η γάτα του Schrödinger, που είναι ένα περίεργο μείγμα ταυτόχρονα ζωντανής και νεκρής γάτας, οποιοδήποτε κβαντικό αντικείμενο μπορεί να υπάρχει σε μία υπέρθεση διαφορετικών καταστάσεων. Για να χαρακτηρίσουν αυτή την ακατάστατη συνύπαρξη οι φυσικοί χρησιμοποιούν τον χώρο καταστάσεων. Για κάθε ενδεχόμενο (πχ "ζωντανή" ή "νεκρή" γάτα), δημιουργείται ένας νέος άξονας και προστίθεται μία νέα διάσταση στον χώρο. Για παράδειγμα στον "γατίσιο" χώρο του Erwin Schrödinger, μαρκάρουμε μία μονάδα κατά μήκος του x-άξονα που να αναπαριστά την ολοζώντανη γάτα. Παρομοίως, για την κατάνεκρη γατούλα θα έχουμε μία μονάδα κατά μήκος του y-άξονα, ενώ η ημι-ζωντανή, ημι-νεκρή γάτα θα βρίκεται κάπου στο τόξο μεταξύ αυτών των σημείων.

Το "σχήμα " αυτού του χώρου επηρεάζει το πως οι καταστάσεις κινούνται μέσα του, και συνεπώς το πως δουλεύει το φυσικό σύστημα, πράγμα που περιλαμβάνει και την διάρθρωση των ενεργειακών σταθμών. Ο Connes αποφάσισε να κατασκευάσει ένα κβαντικό χώρο καταστάσεων βασισμένο στους πρώτους αριθμούς, δημιουργώτας ένα χώρο απείρων διαστάσεων, τις Adeles. Στην πρώτη διάσταση οι μετρήσεις γίνονται χρησιμοποιώντας τη λεγόμενη 2-adic γεωμετρία, στη δεύτερη διάσταση την με την 3-adic γεωμετρία, στην τρίτη διάσταση με την 5-adic γεωμετρία κ.ο.κ (p-adic για όλους τους πρώτους αριθμούς).

Το 1999 ο Connes απέδειξε ότι το κβαντικό του σύστημα που οι διαστάσεις του βασίζονται στους πρώτους, έχει ενεργεακά επίπεδα που αντιστοιχούν σε όλες τις ρίζες Riemann που βρίσκονται στην κρίσιμη ευθεία. Θα κερδίσει την υπέρτατη φήμη αν κάνει ένα τελευταίο βήμα. Του μένει να αποδείξει οτι δεν υπάρχουν άλλα επιπλέον μηδενικά που δεν έχουν υπολογιστεί στις ενεργειακές του στάθμες. Αυτό το τελευταίο βήμα φαίνεται τρομερό. Μήπως ο Connes απλά αντικατέστησε την υπόθεση Riemann με ένα εξίσου δύσκολο πρόβλημα? Ο χρόνος θα δείξει...

Η απόδειξη της υποθεσης Riemann δεν είναι το τέλος της ιστορίας. Θα δημιουργήσει μιά σειρά απο δυσκολότερα και πιο διεισδυτικά ερωτήματα. Γιατί οι πρώτοι αριθμοί επιτυγχάνουν μια τόσο ευαίσθητη ισορροπία ανάμεσα στην τυχαιότητα και την τάξη ? Αφού η δομή τους κωδικοποιεί την συμπεριφορά των κβαντικών χαοτικών συστημάτων, τι άλλα διαμάντια μπορεί να αποκαλύψουμε όταν σκάψουμε βαθύτερα ? Ποιά μυστικά έχουν κλειδωμένα ?



ΥΓ1: Στο παρακάτω εκλαϊκευμένο άρθρο του ο Marcus du Sautoy , εξηγεί μερικές απο τις λεπτομέρειες της σύνδεσης μεταξύ των πρώτων αριθμών και της κβαντικής φυσικής:
 
Prime Numbers Get Hitched
 
Για τους φίλους του "Γυρίστε τον Γαλαξία με Ωτοστόπ" έχει ενδιαφέρον η σύμπτωση ότι ο αριθμός 42 είναι ο τρίτος αριθμός μιας μαθηματικής σειράς, της "τρίτης ροπής" της συνάρτησης ζ του Riemann !
 
1, 2, 42, 24024, 701149020, 1671643033734960, 475073684264389879228560, 22081374992701950398847674830857600, 220381378415074546123953914908618547085974856000, ...
 
ΥΓ2: Ένα ωραίο άρθρο απο το Πανεπιστήμιο του Bristol γιά τη σχέση της κβαντικής φυσικής με την υπόθεση Riemann:

H κβαντική Φυσική ρίχνει φώς στην υπόθεση Rieman

ΥΓ3: Μία στοιχειώδης οπτικοποιημένη παρουσίαση των πρώτων αριθμών και της συνάρτησης ζήτα του Riemann:
 
H κατανομή των πρώτων αριθμών
 
ΥΓ4: Δύο όχι και τόσο ... στοιχειώδεις παρουσιάσεις σχετικά με την "κωδικοποίηση" της κατανομής των πρώτων αριθμών διαμέσου των μη τεριμμένων ριζών της συνάρτησης ζ του Riemann:
 
Η κοινή προσέγγιση
Η πιο κομψή προσέγγιση