Η Απολογία ενός Μαθηματικού

Δεν έχω γλωσσική ή καλλιτεχνική ικανότητα, ενώ έχω πολύ μικρό ενδιαφέρον για τις πειραματικές επιστήμες. Θα μπορούσα να ήμουν ένας ανεκτός φιλόσοφος, αλλά όχι πολύ πρωτότυπου είδους.  Νομίζω ότι θα μπορούσα ίσως να γίνω ένας καλός δικηγόρος. Αλλά η δημοσιογραφία είναι το μοναδικό επάγγελμα, έξω απο την ακαδημαϊκή ζωή,  για το οποίο θα  ήμουν πεπεισμένος για τις πιθανότητές μου. Χωρίς αμφιβολία  σωστά επέλεξα να γίνω μαθηματικός, εάν το κριτήριο είναι αυτό που κοινότυπα ονομάζουμε επιτυχία.

Η επιλογή μου ήταν λοιπόν σωστή, εάν αυτό που ήθελα ήταν μία εύλογη, άνετη και ευτυχισμένη ζωή. Αλλά αν και οι δικηγόροι, οι χρηματιστές και οι εκδότες βιβλίων συνήθως διάγουν άνετους και ευτυχισμένους βίους, είναι πολύ δύσκολο να πούμε  ότι ο κόσμος είναι πιό "εύφορος"  λόγω της ύπαρξής τους.

Yπάρχει κάποιος λόγος με βάση τον οποίο μπορώ να ισχυριστώ ότι η ζωή μου  ήταν λιγότερο μάταιη ; Μου φαίνεται πάλι ότι υπάρχει μία μόνο δυνατή απάντηση:  ναι, ενδεχομένως,  αλλά, αν είναι έτσι, για έναν μόνο λόγο:

Δεν έχω ουδέποτε κάνει κάτι ‘χρήσιμο’.  Καμμία δική μου ανακάλυψη δεν έχει κάνει,  ή είναι πιθανό να κάνει, άμεσα ή έμμεσα, για καλό ή κακό, την παραμικρή διαφορά στις  συνθήκες ζωής στον κόσμο. 

Έχω βέβαια βοηθήσει στην εκπαίδευση άλλων μαθηματικών σαν εμένα, που η εργασία τους  υπήρξε, στο πλαίσιο της δικής μου συμβολής, εξίσου άχρηστη όπως η δική μου. Κρίνοντας με βάση όλα τα πρακτικά πρότυπα, η αξία της μαθηματικής μου ζωής είναι "μηδέν".   Εκτός μαθηματικών, η ζωή μου είναι τετριμμένη ούτως ή άλλως. Μετά βίας λοιπόν έχω μία μόνο ευκαιρία να δραπετεύσω απο την ετυμηγορία της πλήρους ασημαντότητας, όσον αφορά  το αν έχω δημιουργήσει κάτι άξιο λόγου. Το ότι  έχω δημιουργήσει "κάτι" είναι αναμφισβήτητο: το  ζήτημα είναι η αξία του.

Η περίπτωση της ζωής μου, όπως και τόσων άλλων παρόμοιων μαθηματικών, είναι η εξής: έχω προσθέσει "κάτι" στη γνώση, και βοήθησα άλλους να προσθέσουν περισσότερα.   Αυτό το  "κάτι" έχει μία αξία  που διαφέρει μόνο σε βαθμό, και όχι σε είδος, απο εκείνες τις δημιουργίες των μεγάλων μαθηματικών, ή  οποιωνδήποτε άλλων καλλιτεχνών, μικρών ή μεγάλων, που έχουν αφήσει πίσω τους κάποιο είδος μνημείου.

  

A Mathematician's Apology (November 1940)

G. H. Hardy (1877 - 1947)

  

"Τον Αρχιμήδη θα τον θυμούνται όταν ο Αισχύλος  ξεχαστεί, επειδή οι γλώσσες πεθαίνουν  αλλά οι μαθηματικές ιδέες όχι. Η  ‘αθανασία’ μπορεί να είναι ανόητη λέξη, αλλά πιθανότατα  ο μαθηματικός έχει την καλύτερη ευκαιρία του οτιδήποτε μπορεί  αυτή να σημαίνει"

Aνθρώπινο, πολύ Ανθρώπινο

"Οι Έλληνες δεν έβλεπαν τους ομηρικούς θεούς σαν κυρίους από πάνω τους, ή τους εαυτούς τους κάτω απ' τους θεούς σαν υπηρέτες, όπως έκαναν οι Εβραίοι. Έβλεπαν μόνο την αντανάκλαση των πιο επιτυχών δειγμάτων της ίδιας τους της κάστας, δηλαδή ένα ιδανικό, και όχι μια αντίθεση προς την ίδια τους τη φύση. 'Ένιωθαν συνδεδεμένοι μαζί τους, υπήρχε ένα αμοιβαίο ενδιαφέρον, ένα είδος συμμαχίας.

Ο άνθρωπος σκέφτεται τον εαυτό του ως "ευγενή" όταν δίνει στον εαυτό του τέτοιους θεούς, και βάζει τον εαυτό του σε μια σχέση μ' αυτούς όμοια μ' εκείνη που υπάρχει ανάμεσα στην κατώτερη και στην ανώτερη "αριστοκρατία". Εκεί όπου αποτύγχαναν να κυριαρχήσουν οι Ολύμπιοι θεοί, η ελληνική ζωή γινόταν πιο ζοφερή και πιο γεμάτη από αγωνία.

Ο χριστιανισμός, από την άλλη μεριά, συνέθλιψε και κατακερμάτισε τον άνθρωπο πλήρως, και τον βύθισε σαν σε παχιά λάσπη. Τότε ευθύς, μέσα στο συναίσθημα της πλήρους πτώσης, αφέθηκε να λάμψει το φως της θεϊκής συμπόνιας, κι έτσι ο έκπληκτος άνθρωπος, εμβρόντητος απ' αυτήν την πράξη ελέους, έβαλε φωνή έξαλλης χαράς και για μια στιγμή πίστεψε ότι έφερε όλο τον ουρανό μέσα του.

Όλες οι ψυχολογικές εφευρέσεις του χριστιανισμού δουλεύουν γι' αυτήν την άρρωστη υπερβολή του συναισθήματος, για τη βαθιά διαφθορά του κεφαλιού και της καρδιάς που είναι απαραίτητη γι' αυτήν. Ο χριστιανισμός θέλει να καταστρέψει, να κατακερματίσει, να αποβλακώσει, να προκαλέσει μέθη. Μόνο ένα πράγμα δεν θέλει: το μέτρο, και γι αυτόν το λόγο είναι στη βαθύτερή του έννοια βάρβαρος, ασιατικός, χυδαίος, μη ελληνικός."

Friedrich Nietzsche (1844 - 1900)

(Απόσπασμα 114 απο το περίφημο: Human, all too Human: Α Book fοr Free Spirits)

Πλατωνική μαθηματική ύπαρξη

Έχει άραγε ουσιαστική σημασία να αναρωτηθούμε αν υπάρχει κάποιος Πλατωνικός μαθηματικός κόσμος ανεξάρτητος απο την ανθρώπινη ύπαρξη ; Μήπως έχουν δίκιο όσοι θεωρούν έναν τέτοιο κόσμο απλά σαν ένα προϊόν της αχαλίνωτης ανθρώπινης φαντασίας ;

H μαθηματική αντικειμενικότητα σχετίζεται καθοριστικά με τον μαθηματικό Πλατωνισμό. Συνεπώς ο Πλατωνικός μαθηματικός κόσμος δεν πρέπει να θεωρείται σαν κάτι μυστικιστικό, απόκρυφο ή αντιεπιστημονικό, παρόλο που αρκετοί τον βλέπουν έτσι.

Σίγουρα αρκετοί φίλοι θα έχουν δυσκολία να δεχθούν ότι τα διάφορα μαθηματικά αντικείμενα έχουν αληθινή ύπαρξη. Αν διευρύνουμε την έννοια της ύπαρξης, ίσως παραμεριστεί αυτή η δυσκολία. Γενικότερα, οι Πλατωνικές μορφές δεν έχουν την ίδια ιδιότητα της ύπαρξης, σαν τα συνηθισμένα φυσικά αντικείμενα, όπως πχ ένα τούβλο ή ένας πολιτικός. Δεν έχουν χωρικές και χρονικές συντεταγμένες ! Μπορούμε να θεωρήσουμε τις αντικειμενικές μαθηματικές έννοιες σαν άχρονες οντότητες, οι οποίες δεν ξεπηδούν ταχυδακτυλουργικά σε καθεστώς ύπαρξης την στιγμή που γίνονται αντιληπτές απο τον ανθρώπινο εγκέφαλο. Oι εκπληκτικοί στροβιλισμοί ενος συνόλου Mandelbrot δεν απέκτησαν την ιδιότητα της ύπαρξής τους την στιγμή που πρωτοεμφανίστηκαν σε κάποιο χαρτί εκτυπωτή ή στην οθόνη κάποιου υπολογιστή. Αυτές οι υπέροχες δομές "υπήρχαν" ήδη σε δυνητική άχρονη ύπαρξη, έτσι ώστε κατ' ανάγκη να αποκαλυφθούν ακριβώς στη μορφή που τις αντιλαμβανόμαστε σήμερα, άσχετα απο τον χρόνο ή τον χώρο που κάποιο νοήμον όν επέλεξε να τις πρωτοψηλαφίσει.

Επιπλέον, η μαθηματική ύπαρξη είναι διαφορετική όχι μόνο απο την φυσική ύπαρξη, αλλά επίσης και απο ένα άλλο είδος ύπαρξης που προσδιορίζεται απο τις νοητικές μας αντιλήψεις. Σύμφωνα με τον Roger Penrose υπάρχει μία βαθύτατη και μυστηριώδης σύνδεση μεταξύ τριών μορφών ύπαρξης: της φυσικής, της νοητικής και της μαθηματικής-Πλατωνικής. Στην παρακάτω εικόνα παρουσιάζονται αυτές οι οντότητες να ανήκουν σε τρεις διαφορετικούς "κόσμους", οι οποίοι έχουν σχηματικά υλοποιηθεί σαν σφαίρες. Φαίνονται επίσης και οι μυστηριώδεις σχέσεις μεταξύ αυτών των κόσμων.

Στην απεικόνιση του Penrose υποδηλώνεται σαφέστατα ότι ολόκληρος ο φυσικός κόσμος ελέγχεται απο μαθηματικούς νόμους. Σύμφωνα με αυτή την οπτική, τα πάντα στο φυσικό σύμπαν κυβερνώνται με εκπληκτική ακρίβεια απο μαθηματικές αρχές, που συμπυκνώνονται σε φυσικομαθηματικές εξισώσεις στα εξειδικευμένα πανεπιστημιακά βιβλία και δημοσιεύσεις. Όμως δεν αποκλείεται η μελλοντική τους μετάλλαξη σε μαθηματικά αντικείμενα και έννοιες ουσιωδώς διαφορετικές απο αυτές στις οποίες αποδίδουμε σήμερα τον όρο "εξισώσεις".

Επιπλέον απο το σχήμα προκύπτει ότι ο "νοητικός" κόσμος ελέγχεται απο μέρος του "φυσικού". Αυτό προκύπτει επειδή δεν υπάρχουν μέχρι σήμερα επιστημονικές αποδείξεις για την ύπαρξη νοητικών οντοτήτων που να μην εδράζονται σε κάποιο φυσικό δομικό υπόστρωμα. Βέβαια όσοι διέπονται απο θρησκευτικές προκαταλήψεις διαδίδουν επίμονα, και κατά τη γνώμη μου εντελώς αβάσιμα, το ενδεχόμενο ύπαρξης φυσικά ανεξάρτητων νοητικών οντοτήτων. Δυστυχώς γι' αυτούς τέτοιου είδους ισχυρισμοί δεν έχουν καμμία επιστημονική βάση.

Τέλος, στο σχήμα Penrose, ολόκληρος ο Πλατωνικός μαθηματικός κόσμος ελέγχεται απο τμήμα του "νοητικού" κόσμου. Αυτό προφανώς υποδηλώνει ότι δεν υπάρχουν μαθηματικές αλήθειες που να βρίσκονται εκτός του πεδίου της συμπαντικής λογικής.

Οι παρατηρητικοί αναγνώστες του blog ίσως έχουν ήδη εντοπίσει ένα εμφανές παράδοξο. Πως είναι δυνατόν ένα υποσύνολο του καθενός απο τους τρεις "κόσμους" να ελέγχει καθ' ολοκληρία τον επόμενο, και μάλιστα σε κλειστό βρόχο ;

Αυτό εξυπονοεί την ενδεχόμενη ύπαρξη ενός βαθύτατου μυστηρίου που υπερβαίνει τα όσα εκτέθηκαν μέχρι τώρα. Ίσως οι τρείς προαναφερθέντες κόσμοι να μην είναι καθόλου ξεχωριστοί, αλλά απλούστατα να αντικατοπτρίζουν τις διαφορετικές πλευρές μιας διαπεραστικής συμπαντικής αλήθειας, που μπορεί να εδράζεται σε μία όμορφη συμμετρία της φύσης, την οποία προς το παρόν αδυνατούμε να αντιληφθούμε.

Δεν βλάπτει να επισημάνουμε ότι υπάρχει ακόμα πολύς δρόμος μέχρι να φωτιστούν με άπλετο φως τέτοιου είδους ζητήματα ...

Φράχτες και ελευθερία

Πόσοι άνθρωποι άραγε συνειδητοποιούν ότι ενώ υπάρχουν εθνικοί, οικονομικοί, ιδεολογικοί και θρησκευτικοί φράχτες, όλοι μιλούν υποκριτικά για αδελφότητα, αγάπη και ειρήνη. Για να γνωρίσουμε πραγματικά τι είναι αγάπη πρέπει να ρίξουμε όλα αυτά τα φράγματα και φυσικά οφείλει ο καθένας να ξεκινήσει πρώτα από τον εαυτό του.

H κάθε είδους πίστη ειναι τόσο άχρηστη όσο και τα ιδανικά. Είναι ο σοβάς που καλύπτει τις ρωγμές στα αποδεικτικά στοιχεία και στα λογικά κενά. Και τα δύο σκορπάνε την ενέργεια που χρειάζεται για την επίγνωση του ξετυλίγματος της πραγματικότητας.

Τα «πιστεύω» όπως και τα ιδανικά ειναι διαφυγές από το αληθινό γεγονός. Όμως, στη φυγή υπάρχει θλίψη δίχως τέλος. Το τέλος της θλίψης ειναι η κατανόηση της πραγματικότητας. Δυστυχώς δεν υπάρχει σύστημα ή μέθοδος που φέρνει αυτή τη κατανόηση. Μόνο η χωρίς επιλογές επίγνωση της πραγματικότητας είναι στη σωστή κατεύθυνση ...

Η αλήθεια είναι μια χώρα χωρίς κανέναν δρόμο προς αυτή. Ο άνθρωπος δεν μπορεί να την προσεγγίσει μέσα από οποιονδήποτε οργανισμό, οποιοδήποτε «πιστεύω» οποιοδήποτε δόγμα, ρασοφόρους ή τελετουργίες, ούτε μέσα από φιλοσοφική γνώση και ψυχολογικές τεχνικές. Ίσως μπορέσουμε να την ψηλαφήσουμε μπροστά στον καθρέφτη των σχέσεων και μέσα από την παρατήρηση, όχι όμως μέσα από την διανοητική ανάλυση ή την ενδοσκοπική ανατομία.

Ο άνθρωπος έχει χτίσει στη συνείδησή του εικόνες, για να έχει μια αίσθηση ασφάλειας, εικόνες θρησκευτικές, ιδεολογικές, προσωπικές. Αυτές εκδηλώνονται σαν σύμβολα, ιδέες, πεποιθήσεις. Το βάρος τους κυριαρχεί στις καθημερινές σχέσεις. Η ατομικότητα, είναι το όνομα, το σχήμα και η επιφανειακή διαπαιδαγώγηση που αποκτά ο άνθρωπος από το περιβάλλον του. Όμως, η μοναδικότητα του ατόμου δεν έγκειται στο επιφανειακό, αλλά στην πλήρη ελευθερία του απο αυτό το περιεχόμενο της συνείδησης.

Η ελευθερία δεν είναι αντίδραση, δεν είναι επιλογή. Ελευθερία είναι η καθαρή παρατήρηση χωρίς κατεύθυνση, χωρίς τον φόβο της τιμωρίας και της ανταμοιβής. Η ελευθερία είναι χωρίς κίνητρο, δεν βρίσκεται στο τέλος της εξέλιξης του ανθρώπου, αλλά στο πρώτο βήμα της ύπαρξης. Με την παρατήρηση αρχίζει κανείς να ανακαλύπτει την έλλειψη ελευθερίας και τελικά συνειδητοποιεί ότι η ελευθερία βρίσκεται στην επίγνωση χωρίς επιλογή.