Οι παρακάτω έννοιες προσεγγίζονται με διαισθητικό στυλ, έτσι ώστε κάποιος χωρίς σοβαρό μαθηματικό υπόβαθρο να μπορέσει απτόητος να τις ψηλαφίσει, και ενδεχομένως να εκτιμήσει την ομορφιά τους.
Ας ξεκινήσουμε με ένα δίκαιο ζάρι, που αν το το ρίξουμε 100 φορές εμφανίζει στατιστικά τις ίδιες πιθανότητες με 100 ολόϊδια δίκαια ζάρια που ρίχνουμε από μία φορά το καθένα. Η ρίψη τέτοιων ζαριών είναι “εργοδική”. Όμως, αν λιμάρουμε την άκρη του ζαριού μετά από 10 ρίψεις, έτσι ώστε να είναι προκατειλημμένο στην εμφάνιση του αριθμού 4, τότε αναδύεται η “μη εργοδικότητα”, όπου 1 ζάρι 100 φορές ΔΕΝ ισοδυναμεί με 100 διαφορετικά ζάρια απο μία φορά! Ατυχώς, πολλοί αντιμετωπίζουν τα μη εργοδικά συστήματα ως εργοδικά.
Η μη εργοδικότητα είναι θεμελιώδης αλλά ελάχιστα γνωστή έννοια, όπως άλλωστε και η εργοδικότητα. Υπάρχει εργοδικότητα όταν το σύστημα που εξετάζουμε "επισκέπτεται" όλες τις πιθανές του καταστάσεις, όπως τα αμερόληπτα ζάρια που προαναφέρθηκαν. Συνεπώς, τα εργοδικά συστήματα ΔΕΝ έχουν βαθειά "αίσθηση" της ιστορίας τους. Σε αντιδιαστολή, τα μη εργοδικά συστήματα ΔΕΝ επισκέπτονται όλες τις πιθανές τους καταστάσεις, και ως εκ τούτου εμπεριέχουν μία βαθειά "αίσθηση" της ιστορίας τους. Η εξέλιξη της ζωής στη βιόσφαιρά μας είναι θεμελιωδώς μη εργοδική και ιστορική, αφού εξελικτικά δεν αναδύθηκαν όλες οι πιθανές μορφές ζωής (καταστάσεις, φάσεις ή σημεία στο χώρο φάσεων), αλλά μόνο ένα απειροελάχιστο υποσύνολό τους.
Ας προχωρήσουμε τώρα με τη φαντασία μας σ' ένα "ιδιόρρυθμο" τραπέζι μπιλιάρδου ασυνήθιστου σχήματος, που έχει μία ιδιαίτερα λεία επιφάνεια χωρίς τριβές και καθόλου τρύπες. Ένα μέρος του τραπεζιού είναι βαμένο άσπρο και το υπόλοιπο είναι μαύρο. Μία μπάλα μπιλιάρδου τοποθετείται σε ένα τυχαίο σημείο του περίεργου τραπεζιού και χτυπιέται με τυχαία ταχύτητα σε μία τροχιά. Παρεπιπτόντως, τα μάτια σου είναι καλυμμένα με μάσκα και δε γνωρίζεις ποιό είναι το σχήμα του τραπεζιού. Όμως, καθώς η μπάλα περιφέρεται, δέχεσαι συνεχείς ενημερώσεις για το πότε η μπάλα βρίσκεται στο άσπρο τμήμα του τραπεζιού και πότε στο μαύρο. Από αυτές τις πληροφορίες οφείλεις να συμπεράνεις όσα περισσότερα μπορείς για όλο το σύστημα: πχ αν το τραπέζι έχει το σχήμα ενός ορθογώνιου παραλληλόγραμμου ή όχι.
Το γνωστικό πεδίο που περιλαμβάνει το προηγούμενο παράδειγμα ονομάζεται εργοδική θεωρία, και μοντελοποιεί εντελώς διαφορετικά συστήματα (ζάρια, εξέλιξη ζωής, τραπέζια μπιλιάρδου, κλίμα κλπ) χρησιμοποιώντας την αφαιρετική προσέγγιση των μετασχηματισμών διατήρησης μέτρου.
Για να προσπελάσουμε αυτή τη τελευταία εννοιολογική αφαίρεση, είναι εντελώς απαραίτητο να εστιάσουμε στις έννοιες του μέτρου και των μετασχηματισμών. Το μέτρο, δεν είναι παρά ένα μέγεθος που μας λέει πόσο μεγάλο είναι ένα σύνολο, ή, στη γλώσσα των πιθανοτήτων, πόσο πιθανό είναι να συμβεί ένα ενδεχόμενο. Ας σημειωθεί ότι ένας χώρος πιθανοτήτων έχει πάντα ως συνολικό μέτρο τον αριθμό "1". Φυσικά, ένα οποιοδήποτε μέτρο οφείλει να συμπεριφέρεται όπως ακριβώς και η ιδέα του μεγέθους: πχ το μέτρο της ένωσης δύο διακεκριμένων συνόλων πρέπει να ισούται με το άθροισμα των μέτρων των συνόλων. Από την άλλη πλευρά, ένας μετασχηματισμός είναι ένας τρόπος να αντιστοιχηθεί ο χώρος με τον εαυτό του, κατανέμοντας ένα σημείο σε ένα άλλο. Σε πολλές περιπτώσεις οι μετασχηματισμοί καταδεικνύουν μία εξέλιξη στον χρόνο: για παράδειγμα, μπορεί να αντιστοιχίζουν τη θέση και κατεύθυνση μιας μπάλας μπιλιάρδου κατά την τρέχουσα στιγμή, με τη θέση και κατεύθυνση της μπάλας ένα δευτερόλεπτο αργότερα.
Η εργοδική θεωρία διερευνά τους μετασχηματισμούς σε χώρους πιθανοτήτων οι οποίοι διατηρούν αναλλοίωτο το μέτρο. Έτσι, για παράδειγμα, αν ένα σύνολο σημείων Α έχει μέτρο 1/69, και ένας μετασχηματισμός Τ διατηρεί το μέτρο, τότε το σύνολο των σημείων που αντιστοιχίζονται στο Α μέσω του Τ, θα έχουν επίσης μέτρο 1/69. Όταν δε το μέτρο ερμηνεύεται ως πιθανότητα (όπως είπαμε πάντα μικρότερη της μονάδος) αυτή η ιδιότητα διατήρησης του μέτρου καταδεικνύει το χρονικό αναλλοίωτο (μη μεταβολή στον χρόνο — στασιμότητα) των αναμενόμενων συχνοτήτων εμφάνισης ορισμένων ενδεχομένων (όπως πχ την πιθανότητα της μπάλας μπιλιάρδου να βρίσκεται στο άσπρο τμήμα του τραπεζιού.)
Όταν εφαρμόζεται ένας μετασχηματισμός ξανά και ξανά, και ελέγχουμε μετά από κάθε εφαρμογή του αν κάποιο ενδεχόμενο έχει συμβεί καταγράφοντας το αποτέλεσμα, τότε έχουμε μία διεργασία. Η γλώσσα των διεργασιών και η γλώσσα των μετασχηματισμών είναι στην πραγματικότητα δύο διαφορετικοί τρόποι που περιγράφουν το ίδιο πράγμα. Πχ, έχουμε μία διεργασία στο παράδειγμα του μπιλιάρδου, αν καταγράφουμε σε χρονικά διαστήματα του ενός δευτερολέπτου, είτε το Μ ή το Α, για τη θέση της μπάλας. Το αποτέλεσμα Μ Μ Α Α Μ . . . αναπαριστά την μπάλα στις περιοχές μαύρη, μαύρη, άσπρη, άσπρη και μαύρη κατά τις χρονικές στιγμές 0, 1, 2, 3 και 4 αντίστοιχα.
Προφανώς μπορούμε να αναλύσουμε και διεργασίες συστημάτων του πραγματικού κόσμου, χωρίς προηγούμενη γνώση των επιδρώντων μετασχηματισμών. Πχ, ας πούμε ότι καταγράφουμε το μεσημέρι κάθε μέρας, αν ο καιρός είναι βροχερός ή ηλιόλουστος, κωδικοποιώντας το με ένα Β ή Η. Αν αυτό το κάνουμε κάθε μέρα στο παρόν και στο μέλλον, θα έχουμε σαν αποτέλεσμα μία διπλά άπειρη (δηλ. και από τα δύο άκρα άπειρη) χρονοσειρά από Β και Η, όπως: . . . Η Β Β Η (Η) Β Β Β Η . . . Εδώ οι παρανθέσεις ταυτοποιούν την τρέχουσα μέρα (είναι ηλιόλουστη σήμερα, θα είναι βροχερή αύριο, ήταν ηλιόλουστη χθες, κλπ)
Για να μεταφέρουμε το προηγούμενο παράδειγμα στη γλώσσα των μετασχηματισμών, παρατηρούμε ότι το σύνολο των διπλά άπειρων χρονοσειρών απο Β και Η συνιστά κάποιον χώρο, και ένας φυσικός μετασχηματισμός αυτού του χώρου είναι η μετατόπιση, ας πούμε εκείνη που μετακινεί τον χρόνο μπροστά κατά μία μέρα (ως εκ τούτου η μετατόπιση μετατρέπει την προηγούμενη χρονοσειρά στην . . . Η Β Β Η Η (Β) Β Β Η . . .) Ένα κατάλληλο μέτρο μπορεί να εξαχθεί από τις πιθανότητες βροχής και ηλιοφάνειας αντίστοιχα στις διάφορες ημέρες. Αυτό το μέτρο όμως είναι αναλλοίωτο και θα διατηρηθεί μετά τη μετατόπιση, αφού η αρχική διεργασία είναι στάσιμη στοχαστική.
Πολλές φορές η συμπεριφορά ενός γενικότερου συστήματος (όπως ο καιρός, τα ρεύματα στην ατμόσφαιρα ή οι διεργασίες που λαμβάνουν χώρα εντός του οργανισμού μας) επηρεάζεται από την τυχαία επιρροή επιμέρους τμημάτων του. Μια μικρή διαφοροποίηση στις αρχικές συνθήκες μπορεί να έχει πολύ μεγάλο αντίκτυπο στην τελική κατάσταση που θα ισορροπήσει το σύστημα. Τότε λέμε πως το σύστημα περιγράφεται με την βοήθεια στοχαστικών δυναμικών διεργασιών.
Έχουν αναπτυχθεί εργαλεία για τη μελέτη αυτών των διεργασιών, όπως η εντροπία Κολμογκόροφ-Σινάι (K-S), που μάλιστα καθορίζουν ποσότητες που παραμένουν αναλλοίωτες, ακόμη κι όταν μέρη του συστήματος φανερώνουν απρόβλεπτη συμπεριφορά. Η συμπεριφορά συστημάτων με εντροπία Κ-S ίση με το μηδέν μπορεί να προβλεφθεί πλήρως, αλλιώς τα συστήματα εμπεριέχουν χαοτική συμπεριφορά.
Η εντροπία Κ-S σχετίζεται με το κατά πόσο είναι πιθανό σε ένα σύστημα να συμβούν όλες οι πιθανές καταστάσεις. Όπως προείπαμε, ένα σύστημα το οποίο είναι πιθανό να καταλήξει σε ΟΛΕΣ τις δυνατές καταστάσεις κατά την εξέλιξη του (όπως πχ ένα ζάρι που "επισκέπτεται" και τις 6 έδρες του) είναι εργοδικό.
Στις τελευταίες εννέα παραγράφους της παρούσας ανάρτησής μου παραθέτω μία... εύτολμη συνοπτική απόπειρα συσχετισμού των προηγούμενων ιδεών με τη θεμελιώδη θεματολογία της θεωρίας ισομορφισμών:
Ισομορφισμοί: Ας υποθέσουμε ότι στο προαναφερθέν ιδεατό τραπέζι του μπιλιάρδου ανταλλάσουμε τον χρωματισμό των συγκεκριμένων περιοχών από άσπρο σε μαύρο και αντίστροφα. Επακόλουθο είναι ότι θα έχουμε μία νέα, διαφορετική διεργασία. Όμως, η νέα διεργασία θα είναι ισοδύναμη με την αρχική, κατά την έννοια ότι αν γνωρίζουμε το αποτέλεσμα της μίας διεργασίας απείρως μακριά στο μέλλον και στο παρελθόν, αυτό θα μας "πει" το αποτέλεσμα της άλλης. Χοντρικά, μπορούμε να πούμε ότι δύο διεργασίες είναι ισόμορφες, όταν υπάρχει ένας όμορφος τρόπος να αντιστοιχίζουμε τα αποτελέσματα της μίας στα αποτελέσματα της άλλης, έτσι ώστε το ένα αποτέλεσμα να καθορίζει το άλλο. Γενικά, το να προσδιορίζουμε αν υπάρχουν τέτοιες αντιστοιχίσεις είναι σχεδόν αδύνατο, όμως υπάρχουν τρόποι να γίνει αυτό σε ορισμένες περιπτώσεις.
Εργοδικότητα: Μία τυχαία διεργασία είναι εργοδική, αν ο χρονικός μέσος όρος μιας χρονοσειράς παρατηρήσεων είναι ίδιος με τον χρονικό μέσο όρο σε όλο τον χώρο φάσεων (καταστάσεων) του συστήματος, αρκεί το δείγμα να είναι επαρκώς μεγάλο. Αυτό σημαίνει ότι μία δειγματοληψία μας δίνει πληροφορίες για το σύστημα. Όμως, μία εργοδική διεργασία ή μετασχηματισμός δε μπορεί να εκφρασθεί ως συνδυασμός δύο απλούστερων διεργασιών (ή μετασχηματισμών.) Πχ, ας φανταστούμε μία διεργασία, η οποία, αφού πρώτα επιλέξουμε έναν τυχαίο άνθρωπο, έχει ως αποτέλεσμα μία τεράστια χρονοσειρά από "Δ" και "A", σύμφωνα με το ποιό χέρι χρησιμοποιεί για να ανοίξει όλα τα χερούλια πόρτας που θα χρειαστεί ν' ανοίξει στη ζωή του. Αυτή η διεργασία σίγουρα δεν πρόκειται να είναι εργοδική, αφού ο χαρακτήρας των αποτελεσμάτων της είναι δυνατόν να κατανεμηθεί με εντελώς προβλέψιμο τρόπο, που εξαρτάται από το αν ο επιλεγείς άνθρωπος είναι δεξιόχειρας ή αριστερόχειρας. Αν υποθέσουμε ότι το ποσοστό των αριστερόχειρων στον γενικό πληθυσμό είναι 0,1 τότε όλη η διεργασία μπορεί να εκφρασθεί ως 0,1 Χ (διεργασία αριστερόχειρων) + (0,9 Χ (διεργασία δεξιόχειρων)
Εργοδικό θεώρημα Birkhoff: Όταν ένας εργοδικός μετασχηματισμός εφαρμόζεται επαναληπτικά έτσι ώστε να καταλήξει σε μία εργοδική διεργασία, τότε με πιθανότητα 1 (δηλ. με βεβαιότητα) η συχνότητα στο χρόνο που ένα αποτέλεσμα παραμένει σε ένα συγκεκριμένο σύνολο αποτελεσμάτων (δηλαδή καταστάσεων ή φάσεων ή σημείων), είναι ασυμπτωτικά το μέτρο του εν λόγω συνόλου.
Θεώρημα πύργου του Rohlin: Ας επιλέξουμε έναν αυθαίρετο θετικό ακέραιο, πχ τον 533. Για κάθε μετασχηματισμό Τ που διατηρεί το μέτρο, μπορούμε να διαχωρίσουμε τον χώρο καταστάσεων (ή φάσεων, ή σημείων) σχεδόν σε 533 ισομεγέθη ξένα σύνολα A1 , . . . , A533 , έτσι ώστε αν διαμοιράσουμε τα σύνολα σαν τις βαθμίδες μιας σκάλας, τότε ο μετασχηματισμός συνίσταται απλούστατα στο να ανεβαίνουμε την σκάλα, δηλ. T ( A i ) = A i+1 , T ( A i+1 ) = A i+2 κλπ
Θεώρημα των Shannon–McMillan–Breiman: Ας θεωρήσουμε μία εργοδική διεργασία, η οποία καταλήγει σε αποτελέσματα διπλά άπειρων χρονοσειρών (δηλ άπειρων και από τα δύο άκρα τους) που αποτελούνται από "α" και"β". Αν επιλέξουμε από αυτές μία τυχαία διπλά άπειρη χρονοσειρά, τότε με πιθανότητα "1" (δηλ βεβαιότητα), όταν κατασκευάσουμε από αυτήν και εξετάσουμε την προκύπτουσα χρονοσειρά που αποτελείται από πεπερασμένες αρχικές χρονοσειρές (όπως πχ α, αβ, αββ, αββα, αββαα, . . . .), η εν λόγω χρονοσειρά θα έχει πιθανότητα εμφάνισης που θα προσεγγίζει ασυμπτωτικά έναν σταθερό ρυθμό εκθετικής μείωσης. Επιπλέον, αυτός ο ρυθμός εκθετικής μείωσης δεν θα εξαρτάται από την χρονοσειρά που τυχαία θα επιλέξουμε στην αρχή.
Εντροπία: Ο εκθετικός ρυθμός μείωσης που μόλις προαναφέρθηκε ονομάζεται εντροπία της διεργασίας. Όπως είπαμε, ουσιαστικά όλες οι "διπλά" άπειρες χρονοσειρές έχουν τον ίδιο ρυθμό εκθετικής μείωσης. Ας ονομάσουμε "εύλογα ονόματα" όσες διπλά άπειρες χρονοσειρές έχουν πιθανότητα εμφάνισης που τείνει στον ίδιο σταθερό ρυθμό εκθετικής μείωσης. Τότε, ο πληθικός αριθμός (πλήθος) των "εύλογων ονομάτων" ισούται κατά προσέγγιση με το αντίστροφο αυτής της εκθετικά φθίνουσας πιθανότητας, δηλαδή είναι μία ποσότητα που αυξάνεται με σταθερό εκθετικό ρυθμό. Συνεπώς η εντροπία μπορεί επίσης να ορισθεί και ως ο ασυμπτωτικός ρυθμός αύξησης του πλήθους των "εύλογων ονομάτων".
Αναλλοίωτη εντροπία Kolmogorov: Οποιεσδήποτε δύο ισόμορφες διεργασίες οφείλουν να έχουν την ίδια εντροπία. Αυτό το θεώρημα παρέχει έναν γρήγορο τρόπο για να πιστοποιήσουμε αν δύο διεργασίες δεν είναι ισόμορφες, και συγκεκριμένα, όταν έχουν διαφορετικές εντροπίες.
Ανεξάρτητη διεργασία: Μία στάσιμη στοχαστική διεργασία (δηλ ανεξάρτητη του χρόνου) που επεξεργάζεται ένα "αλφάβητο", έτσι ώστε το κάθε επόμενο "γράμμα" που εμφανίζεται στην προκύπτουσα χρονοσειρά (αποτέλεσμα) να είναι πάντα ανεξάρτητο από εκείνα τα "γράμματα" που ήρθαν προηγουμένως, ονομάζεται ανεξάρτητη διεργασία. Πχ, η επανειλημένη ρίψη ενός ζαριού (δίκαιου ή ακόμα και μη αμερόληπτου ζαριού) αφορά μία ανεξάρτητη διεργασία.
Θεώρημα ισομορφισμού του Ornstein: Αυτό το αυστηρό θεώρημα αποδεικνύει ότι δύο στάσιμες ανεξάρτητες στοχαστικές διεργασίες είναι ισόμορφες ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ έχουν την ίδια εντροπία. Πράγματι, οι καθιερωμένες αποδείξεις του θεωρήματος μας υποδηλώνουν ακόμα περισσότερα, καθόσον μας προσφέρουν μία εντελώς φυσική συνθήκη που μπορεί να ελεγχθεί σε πολλές περιπτώσεις, έτσι ώστε δύο οποιεσδήποτε διεργασίες που έχουν την ίδια εντροπία και ικανοποιούν την εν λόγω συνθήκη, οφείλουν να είναι ισόμορφες. Αυτό έχει οδηγήσει στην εκπληκτική συνειδητοποίηση ότι ένας αρκετά μεγάλος αριθμός τάξεων συστημάτων που διατηρούν το μέτρο και δεν δείχνουν καθόλου όμοια με την ρίψη ζαριών ή νομισμάτων, είναι στην πραγματικότητα ισόμορφα με ανεξάρτητες διεργασίες.
Θέλω να βλέπω τα παραπάνω σαν μία χαραμάδα προσπέλασης ενός μικρού μέρους της ομορφιάς που αναδύουν οι προαναφερθείσες αφαιρετικές έννοιες, οι οποίες παρουσιάστηκαν ακροθιγώς, χωρίς τα απαραίτητα μαθηματικά που προσφέρουν την άμεση πρόσβαση στην ολότητα της μαγείας τους.
Σε κάθε μοναδική ημέρα
υπάρχουν ένα ηλιοβασίλεμα και μία ανατολή
που προσφέρονται ΕΝΤΕΛΩΣ ΔΩΡΕΑΝ.
Μη χάνετε τόσα πολλά από αυτά...
YΓ1. Κλικάρετε άφοβα τα 34 link της ανάρτησης αλλά και τις 2 εικόνες
Σε μία από τις διαλέξεις του γύρω στο 1840, ο Michael Faraday παρουσίασε την περίεργη συμπεριφορά ενός μαγνήτη σε σχέση με ένα πηνίο (δηλαδή ένα συρμάτινο σπειροειδές κυλινδρικό τύλιγμα) συνδεδεμένου με ένα γαλβανόμετρο, που έδειχνε την παρουσία ή απουσία ηλεκτρικού ρεύματος. Στην αρχή δεν υπήρχε ρεύμα στο σύρμα, αλλά όσο ο μαγνήτης ωθείτο εντός του κοίλου κυλινδρικού πηνίου, τόσο η βελόνα του γαλβανόμετρου εκινείτο προς το ένα άκρο της κλίμακας του οργάνου, πράγμα που υποδήλωνε την ύπαρξη ηλεκτρικού ρεύματος. Όσο ο μαγνήτης απεσύρετο από την κυλινδρική σπειροειδή δομή του πηνίου, τόσο η βελόνα γύριζε στην άλλη κατεύθυνση, πράγμα που υποδήλωνε ότι το ρεύμα έρρεε αντίθετα. Όσο ο μαγνήτης διετηρείτο ακίνητος σε οποιαδήποτε θέση εντός του πηνίου, η βελόνα του γαλβανόμετρου ήταν ακίνητη, και συνεπώς δεν υπήρχε ροή ηλεκτρισμού.
Στο τέλος της διάλεξης, ένα μέλος του ακροατήριου προσέγγισε τον Faraday και του είπε επιτακτικά: “Κύριε Faraday, η συμπεριφορά του μαγνήτη και του πηνίου ήταν ενδιαφέρουσα, αλλά ποιά είναι η χρησιμότητά τους?”
Ήταν ακριβώς αυτό το φαινόμενο, η χρησιμότητα του οποίου αμφισβητήθηκε έμμεσα και εντελώς αυθαίρετα από κάποιο μέλος του ακροατηρίου, που ο Faraday χρησιμοποίησε αργότερα για να αναπτύξει την ηλεκτρική γεννήτρια, η οποία, για πρώτη φορά, έκανε δυνατή τη φτηνή παραγωγή ηλεκτρισμού σε μεγάλες ποσότητες. Αυτή η εξέλιξη με τη σειρά της, έκανε δυνατή την ηλεκτρομαγνητική τεχνολογία που μας περικυκλώνει σήμερα από παντού, και που φυσικά χωρίς αυτήν η σύγχρονη ζωή φαντάζει αδιανόητη, ακόμη και στους πλέον αδαείς τεχνοφοβικούς.
☮
