Κατοπτρική συμμετρία καρδιναλίων

Τι ακριβώς είναι η έννοια της συμμετρίας? 

Είναι ένας μετασχηματισμός, ο οποίος αφού εφαρμοστεί τουλάχιστον εννοιολογικά επάνω σε ένα σύστημα, αφήνει αναλλοίωτη κάποια ιδιότητά του, είτε αυτό το σύστημα είναι ένα αφηρημένο μαθηματικό "αντικείμενο" της Θεωρίας Ομάδων, είτε είναι ένα σύνολο μαθηματικών εξισώσεων,  είτε είναι ένα χειροπιαστό γεωμετρικό ή αρχιτεκτονικό αντικείμενο.

Μιλώντας για συμμετρία, αν στις αρχές της άνοιξης βρεθείτε κάποτε στη Βόρεια ή την Νότια Αμερική και κοιτάξετε έξω απο το παράθυρό σας, ενδεχομένως να παρατηρήσετε το πουλί καρδινάλιο (της οικογένειας Cardinalidae) να επιτίθεται στην αντανάκλασή του στο τζάμι. Ο όμορφος καρδινάλιος είναι το μοναδικό πουλί που συχνά επιδεικνύει αυτή τη συμπεριφορά, ιδιαίτερα όταν η φωλιά του είναι πολύ κοντά και νομίζει ότι κάποιος άλλος καρδινάλιος προσπαθεί να εισβάλλει στην περιοχή του!

Το υπέροχο αυτό πουλί ποτέ δεν αντιλαμβάνεται ότι επιτίθεται στην δική του αντανάκλαση.  Δυστυχώς, οι καρδινάλιοι δεν γνωρίζουν πολλά πράγματα για την κατοπτρική συμμετρία, αλλά ούτε για τις συμμετρίες γενικότερα !

Αν η Φύση ήταν εντελώς  συμμετρική, τότε η Θεωρία των Πάντων θα ήταν πανεύκολη και προφανής, επειδή θα υπήρχε μία μόνο θεμελιώδης αλληλεπίδραση και όχι τέσσερεις! Όμως ο κόσμος γύρω μας είναι γεμάτος από ρήξεις συμμετριών, με συνέπεια τις κρυμμένες συμμετρίες.

To σύμπαν θα ήταν ανιαρό αν δεν υπήρχε ρήξη των συμμετριών. Τα πάντα θα ήταν ομοιογενή και δεν θα είχαν αναδυθεί αυθόρμητα κάποιες μορφές ζωής ώστε να παρατηρούν την απόλυτη συμμετρία των πάντων. Συνεπώς οι ρήξεις των συμμετριών κάνουν το σύμπαν ενδιαφέρον και παρατηρήσιμο.  

Μία απλοϊκή εξήγηση της ρήξης των συμμετριών αφορά το μακροσκοπικό παράδειγμα της πήξεως του νερού. Το νερό σε υγρή μορφή έχει μεγάλο βαθμό συμμετρίας. Όσο και να το περιστρέψουμε παραμένει ομοιογενές νερό, οι δε εξισώσεις που το περιγράφουν είναι εξίσου συμμετρικές. Όμως, όταν το ψύξουμε αργά, παρατηρούμε τον σχηματισμό τυχαίων κρυστάλλων σε όλες τις κατευθύνσεις, που δημιουργούν ένα χαοτικό δίκτυο, το οποίο τελικά γίνεται πάγος. Αν και οι αρχικές εξισώσεις εμπεριέχουν μεγάλη συμμετρία, οι λύσεις τους δεν είναι κατ' ανάγκη συμμετρικές.

Ο λόγος που συμβαίνει αυτή η ασύμμετρη αλλαγή φάσης έγκειται στο ότι η Φύση ΠΑΝΤΑ προτιμάει να βρίσκεται στην ελάχιστη ενεργειακή κατάσταση. Βλέπουμε ποικίλα τέτοια παραδείγματα γύρω μας. Το νερό ρέει προς τα κάτω, επειδή φλερτάρει με την ελάχιστη ενεργειακή κατάσταση. Για τον ίδιο λόγο οι σταγόνες έχουν σφαιρικό σχήμα. Παρομοίως, στον κβαντικό μικρόκοσμο οι κάθε λογής μεταπτώσεις συμβαίνουν επειδή κάποιο σύστημα είχε σημείο αφετηρίας μία "λάθος" ενεργειακή κατάσταση ― το λεγόμενο ψευδοκενό ― ενώ θα "προτιμούσε" την μετάβαση σε χαμηλότερη ενεργειακή στάθμη (αυθόρμητη μετάπτωση ψευδοκενού!)

Είναι πλέον γνωστό ότι το big bang δημιούργησε τον χρόνο και τον χώρο, που ΔΕΝ προϋπήρχαν ! Το δε σύμπαν που προέκυψε αυθόρμητα, μπορεί πλέον να θεωρηθεί σαν μία ιεραρχία διαδοχικών ρήξεων συμμετριών, δηλαδή ως μία μετάπτωση από την τέλεια αρχική συμμετρία του big bang μέχρι τα περίπλοκα αχνάρια των σπασμένων, αλλά κρυμμένων συμμετριών που βλέπουμε γύρω μας. Συνεπώς, είναι αδιανόητο να λοιδωρεί κανείς τον πανέμορφο καρδινάλιο και να μην απολαμβάνει τις ενδιαφέρουσες εφορμήσεις του στις βαρετές ομοιόμορφες τζαμαρίες ! 

ΥΓ. Κλικάρετε αδίστακτα τα 12 link, τις 2 εικόνες και το video

:)

Απέραντη Ομορφιά

Στην  Απολογία ενός Μαθηματικού ο περίφημος G.H. Hardy μεταξύ άλλων παραθέτει δύο υπέροχα θεωρήματα των αρχαίων Ελλήνων, που η ομορφιά τους δεν έχει ρυτιδωθεί από το πέρασμα δύο χιλιετηρίδων και σαφώς παραμένει αναλλοίωτη.

Τα θεωρήματα αυτά είναι τόσο απλά σε σύλληψη, κεντρική ιδέα και απόδειξη, ώστε να μπορεί να τα κατανοήσει ο οποιοσδήποτε ευφυής αναγνώστης, όσο ισχνός κι' αν είναι ο μαθηματικός του ... εξοπλισμός (βλ. σελ. 18 - 21 του κειμένου, ή 22 - 25 του pdf, στο 1ο link!)

Στην πρoτελευταία παράγραφο της σελίδας 21 (ή της σελ. 25 του pdf) o Hardy αναφέρει ότι τα θεωρήματα αυτά είναι "δείκτες" (test cases) - καθώς ένας αναγνώστης που ΔΕΝ μπορεί να τα εκτιμήσει, είναι απίθανο να εκτιμήσει οτιδήποτε στα Μαθηματικά!

Yπερθεματίζοντας τα προηγούμενα, παραθέτω τον δικό μου "δείκτη", δανειζόμενος το παρακάτω κομψό video του N J Wildberger:

Έχω τη γνώμη ότι αν κάποιος μέσος αναγνώστης παρακολουθήσει αυτό το video ΧΩΡΙΣ πάραυτα να συνειδητοποιήσει την απέραντη ομορφιά των Μαθηματικών - και ειδικότερα της Τοπολογίας - τότε είναι μάλλον απίθανο να εκτιμήσει ποτέ την κορυφαία Αισθητική αυτής της υπέρτατης Τέχνης, την οποία ο Bertrand Russell συνόψισε ως εξής: 

Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty — a beauty cold and austere, like that of sculpure without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as poetry.

ΥΓ1. Κλικάρετε χωρίς δισταγμό εικόνες και συνδέσμους στο κείμενο

ΥΓ2. Οι όμορφες αποδείξεις των 2 προαναφερθέντων θεωρημάτων παρατίθενται και στους παρακάτω συνδέσμους:

Α. Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητη - Απόδειξη του Ίππασου

Β. Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι  - Aπόδειξη του Ευκλείδη


:)

Ιδιότυπη Αισθητική !

Η συναρπαστική  απόλαυση των συμμετριών στο μαθηματικό πλαίσιο της Θεωρίας Ομάδων, εκτός από την παρελκόμενη μαγεία μιάς πολύ ιδιότυπης, μη κοινόχρηστης Αισθητικής, αναδύει μία υπέροχη πινελιά Τέχνης, αφού συνήθως δεν εξυπηρετεί χρησιμοθηρικές σκοπιμότητες, ικανοποιώντας έτσι τον παρακάτω υπέροχο ορισμό του Spinoza:

Τέχνη είναι οποιαδήποτε ανθρώπινη δημιουργία που περιέχει ιδέες πέρα απο τον χρησιμοθηρικό τους σκοπό.

Γενικότερα, η εκπεμπόμενη Αισθητική, κυρίως ως ανάγνωση  ασυνείδητων πηγών, πυροδοτεί το άνοιγμα στην ενόραση και στην πνευματικότητα. Ορισμένες φορές  παρέχει και την θεραπευτική εκείνη σπίθα που ενισχύει την ενδοσκόπηση, την ενσυναίσθηση, την ανθρώπινη δημιουργικότητα, την κατανόηση των διαφορών, αλλά και της άλλης γνώμης.

Έχω την άποψη ότι η Αισθητική είναι κυρίως ένας εξωλεκτικός τρόπος αντίληψης υπέρτατων πτυχών του ασυνείδητου, ένας τρόπος ανίχνευσης και συσχετισμού των άφατων εμπειριών των άλλων με τις δικές μας.   Δυστυχώς όμως, η  επικρατούσα  Αισθητική,  η τόσο προσωπική αλλά και τόσο κοινόχρηστη, έχει υποβαθμιστεί στην αντι-Αισθητική ασχήμια της πολιτιστικής μετάδοσης αξιοθρήνητων μιμιδίων, μέσα από την ισχνή εμπειρία της οικογένειας, αλλά και της εκπαίδευσης όλων των βαθμίδων.

ΥΓ. Χωρίς φόβο και πάθος .. κλικάρετε εικόνες και συνδέσμους !

:)

Μακιαβελικά πρωτεύοντα

Νευρώνες-κάτοπτρα. Μιά υπέροχη εξελικτική συμμετρία που - μεταξύ άλλων - είναι υπεύθυνη για την ανάπτυξη των πολύπλοκων γλωσσικών μας δεξιοτήτων, ενώ ταυτόχρονα διασφαλίζει την είσοδό μας στον διανοητικό κόσμο των άλλων !

Οι περιοχές του εγκεφάλου που βρίσκονται οι νευρώνες-κάτοπτρα μοιάζουν εξελικτικά και τοπολογικά με την περιοχή Broca, που σχετίζεται με την γλώσσα. Όμως τι κάνουν αυτοί οι διαβολεμένοι νευρώνες ? Απλά .. "εκφορτίζονται",  ενισχύοντας έτσι συγκεκριμένα νευρωνικά μονοπάτια που αντιστοιχούν σε συμμετρικές εκδοχές εικονικής πραγματικότητας και αντικαθρεφτίζουν τις ενέργειες άλλων ζώων. Αυτό εξηγεί γιατί τα βρέφη μιμούνται τέλεια και άκοπα τις εκφράσεις του προσώπου και τους περίπλοκους ήχους των γονιών τους, χωρίς να χρειάζονται ώρες εξάσκησης και βαρετών επαναλήψεων. Επιπλέον συνειδητοποιώ ότι δεν είναι λίγες οι φορές που υπομειδιώ νευρικά, όταν συλλαμβάνω τον εαυτό μου ν' αναπαράγει κατοπτρικά, ορισμένες ενέργειες συνομιλητών (όπως .. χασμουρητό, χέρια πίσω από το κεφάλι, χαμόγελο κλπ)

Όμως από την άλλη πλευρά η έλλειψη ενσυναίσθησης σε πολλούς ανθρώπους (περιστασιακή ή ολική) ίσως να οφείλεται στην απουσία εκφόρτισης αυτών των νευρώνων. Σε πολλές περιπτώσεις, οι κοινωνικές ιδιορρυθμίες που ανακύπτουν είναι .. ανεκτές, ιδιαίτερα όταν επικαλύπτονται από επιτεύγματα σε περιβάλλοντα συγκεκριμένων τομέων Επιστήμων και Τεχνών (Μαθηματικών, Μουσικής, Ζωγραφικής, Σωματιδιακής Φυσικής κλπ)

Οι κατοπτρικοί νευρώνες πιθανότατα σχετίζονται με τον αυτισμό, που φυσικά δεν έχει καμμία σχέση με κάποια δοκιμασία στην οποία υποβάλλει τους ανθρώπους κάποιο ακαθόριστο και ιδιόρρυθμο θεϊκό  όν - όπως αφελώς ισχυρίζονται ουκ ολίγοι ένθερμοι απολογητές της συγκεκριμένης θολής  .. υπερκόσμιας οντότητας ! Το δε σύνδρομο Asperger είναι μία λειτουργική μορφή του αυτισμού - που ταυτοποιήθηκε από τον ομώνυμο Βιεννέζο παιδίατρο το 1944 στη διδακτορική του διατριβή - και περιλαμβάνει χαρακτηριστικά όπως μειωμένη ικανότητα κοινωνικής αλληλεπίδρασης, στενά ενδιαφέροντα, επανάληψη τελετουργικών συμπεριφορών, υψηλότατη ροπή για συστηματοποίηση και χαμηλή ενσυναίσθηση.

Μερικές φορές χαμογελώ ενώ αναρωτιέμαι: "Γμτ .. έχω 5 από δαύτα?"

ΥΓ. Κλικάρετε αδίστακτα τα 11 links και τις 2 εικόνες

:)

Συμμετρία και Ομορφιά .. revisited

In Galois fields, full of flowers,
primitive elements dance for hours ..             (S. B. Weinstein)

Η έννοια της συμμετρίας είναι ίσως το βασικότερο εργαλείο της σύγχρονης Φυσικής. Με απλά λόγια υπάρχει συμμετρία όταν κάποια ιδιότητα ενός συστήματος ή μαθηματικού αντικειμένου   παραμένει αναλλοίωτη,  μετά την εφαρμογή μετασχηματισμών. 

Στη μαθηματική γλώσσα τo σύνολο των μετασχηματισμών (ή .. "πράξεων") που διατηρούν αναλλοίωτη μιά ιδιότητα ενός αντικειμένου, είναι οι περίφημες Ομάδες. Τα δε μαθηματικά των συμμετριών είναι η Θεωρία Ομάδων. Όλα τα παραπάνω ξεκίνησαν από τον Évariste Galois ..

Στο παραπάνω εκλαϊκευμένο εικοσάλεπτο videο ο ιδιοφυής ομιλητής Marcus du Satoy εκθέτει την έννοια της συμμετρίας με απλότητα, ομορφιά και χιούμορ. Είναι υπέροχο και το προτείνω ανεπιφύλακτα. 

YΓ: Oι 2 εικόνες και τα 9 links κάτι "κρύβουν" .. βρείτε το με κλικ !

:)

Συμμετρία και Θάνατος

Η έννοια της ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ που είναι ένας πανίσχυρος και βασικός πυλώνας της σύγχρονης φυσικής (Symmetry in physics), χρησιμοποιήθηκε απο τον Eπίκουρο πριν 23 αιώνες στο παρακάτω εκπληκτικό επιχείρημα:

" Όσοι φοβούνται τον θάνατο θα πρέπει να αναλογίζονται τον χρόνο πριν την γέννησή τους. Το παρελθοντικό άπειρο της προγεννητικής μας ανυπαρξίας είναι όπως το μελλοντικό άπειρο της μεταθανάτιας ανυπαρξίας μας. Είναι σαν να έχει τοποθετήσει η φύση ένα ΚΑΤΟΠΤΡΟ και να μας επιτρέπει να δούμε την μελλοντική μας ανυπαρξία. Συνεπώς, όπως δεν είναι κακό να θεωρούμε οτι δεν έχουμε υπάρξει για μία αιωνιότητα πριν την γέννησή μας, έτσι δεν είναι εξίσου κακό να σκεπτόμαστε ότι δεν θα υπάρχουμε για μια αιωνιότητα μετά τον θάνατό μας. "

(βλέπε http://www.iep.utm.edu/e/epicur.htm και Stanford Encyclopedia of Philosophy)

“Ενα τίποτα είναι για μας ο θάνατος” λέει ο Επίκουρος, γιατί “όταν υπάρχουμε εμείς, ο θάνατος είναι απών, και όταν ο θάνατος είναι παρών, δεν υπάρχουμε εμείς”.

Οι τρεις "αφύσικες" Αβρααμικές μονοθεϊστικές θρησκείες που έχουν σαν βάση τον εβραϊκό μύθο δημιουργίας, έχουν περιθωριοποιήσει σε παγκόσμια κλίμακα κορυφαία επιτεύγματα της φιλοσοφικής σκέψης, όπως αυτά του Επίκουρου, που τα χαρακτηρίζει η ομορφιά και η απλότητα. Αυτός είναι ένας επιπλέον λόγος για να υπενθυμίζουμε στον εαυτό μας οτι οι όμορφες και απλές θεωρίες έχουν πολύ μεγαλύτερες πιθανότητες να είναι τελικά σωστές σε σύγκριση με τις άσχημες και πολύπλοκες (Paul Dirac και Murray Gell-Mann).

Συνήθως τέτοιες μέρες σκέφτομαι με θλίψη, οτι η διαχρονική χρήση βίας στην ανθρώπινη ιστορία ατυχώς αρκούσε για να διαιωνίζει και τα αφελέστερα παραμυθάκια, ακόμη και αν αυτά προσέβαλαν κατάφωρα την ανθρώπινη νοημοσύνη.

Δυστυχώς, ο δρόμος του απροκατάληπτου στοχασμού και της λογικής είναι δύσκολος...

Το παρακάτω όμορφο video του αγγλικού Channel4 αφορά την προσέγγιση του Επίκουρου στο πρακτικό ζήτημα της ευτυχίας: