May 15, 2009

Bayes με 3 απλά παραδείγματα


Ας ξεκινήσουμε με μία κατάσταση που συναντούν στην καριέρα τους αρκετοί γιατροί.

Γνωρίζουμε ότι περίπου το 1% των γυναικών γύρω απο την ηλικία των 40 ετών έχουν καρκίνο του μαστού. Eπίσης το 80% των γυναικών με καρκίνο του μαστού, έχουν θετικό τεστ μαστογραφίας. Επιπλέον, το 9,6% των γυναικών χωρίς καρκίνο του μαστού, έχουν θετική μαστογραφία.

Έστω ότι σε τυχαίο έλεγχο, μία γυναίκα αυτής της ηλικιακής ομάδας βρίσκεται να έχει θετική μαστογραφία. Ποιά είναι η πιθανότητα να έχει καρκίνο του μαστού ?

Ποιά νομίζετε ότι είναι η απάντηση ? Αν δεν έχετε ασχοληθεί ξανά με αυτό το πρόβλημα, σκεφτείτε το για λίγο και προσπαθείστε να καταλήξετε στη δική σας εκτίμηση.

Αν δεν βρείτε την σωστή απάντηση, σίγουρα θα σας ανακουφίσει το γεγονός ότι το 85% των γιατρών δίνουν λάθος απάντηση σ' αυτό το πρόβλημα. Μόνο το 15% απαντούν σωστά, σύμφωνα με τις αξιόπιστες επιστημονικές έρευνες των Casscells, Schoenberger και Grayboys 1978, Eddy 1982, Gigerenzer and Hoffrage 1995 και πολλές άλλες. Είναι ένα καταπληκτικό επαναλήψιμο αποτέλεσμα, που επιβεβαιώνεται συνεχώς απο κάθε σχετική έρευνα!

Οι περισσότεροι απο τους γιατρούς δίνουν ως απάντηση ότι η σχετική πιθανότητα είναι μεταξύ 70% και 80%, η οποία απέχει πολύ απο το να είναι σωστή, δηλαδή είναι εξοργιστικά λανθασμένη !

Η σωστή απάντηση είναι 7,8%, και προκύπτει ως εξής. Σύμφωνα με τα προηγούμενα ποσοστιαία δεδομένα, σε κάθε 10.000 γυναίκες, οι 100 έχουν καρκίνο του μαστού, ενώ οι 80 απο αυτές τις 100 έχουν θετικές μαστογραφίες. Απο τις ίδιες 10.000 γυναίκες, οι 9,900 δεν θα έχουν καρκίνο του μαστού, αλλά όμως απο αυτές τις 9,900 γυναίκες, οι 950 θα έχουν ψευδώς θετικές μαστογραφίες. Συνεπώς ο συνολικός αριθμός των γυναικών με θετικές μαστογραφίες είναι 950+80, δηλαδή 1.030. Απο αυτές τις 1.030 γυναίκες με θετικές μαστογραφίες, οι 80 θα έχουν καρκίνο. Αν το εκφράσουμε σαν ποσοστό, έχουμε 80/1.030 ή 0,07767 ή 7,8% πιθανότητα !

Mε λίγα λόγια, πριν απο τον έλεγχο μαστογραφίας, οι 10,000 γυναίκες χωρίζονται σε δύο ομάδες:
Μετά τη μαστογραφία οι 10,000 γυναίκες χωρίζονται στις εξής 4 ομάδες:
Είναι εκπληκτικό ότι μόνο το 7,8% των γυναικών με θετική μαστογραφία έχουν καρκίνο, έπειτα απο τυχαίο έλεγχο. Σύμφωνα με τις προαναφερθείσες έρευνες είναι συνηθισμένο το σφάλμα των γιατρών να εστιάζονται μόνο στην Ομάδα A και δυστυχώς να αγνοούν την Ομάδα Γ, γιατί προφανώς μπερδεύονται με το ξεκαθάρισμα των πιθανοτήτων (ποσοστών). Αν ήσαν γνώστες του Θεωρήματος Bayes δεν θα είχαν αυτή τη δυσκολία, επειδή θα συνειδητοποιούσαν ότι το ποσοστό 7,8% έχει πιεστεί προς τα κάτω απο τις ψευδώς θετικές μαστογραφίες !

Το δεύτερο παράδειγμα αφορά την χρήση του κανόνα Βayes στα δικαστήρια!

Έστω ότι ένας μάρτυρας σε δικαστήριο είδε ένα έγκλημα σχετιζόμενο με ένα ταξί στην πόλη Carborough. Ο μάρτυρας λέει ότι το ταξί είναι μπλε. Είναι γνωστό απο προηγούμενες μελέτες ότι οι μάρτυρες έχουν δίκιο στο 80% των περιπτώσεων όταν κάνουν τέτοιες καταθέσεις. Επίσης η αστυνομία γνωρίζει ότι το 85% των ταξί στο Carborough είναι μπλε, ενώ το άλλο 15% είναι πράσινα. Ποιά είναι η πιθανότητα εμπλοκής στο έγκλημα ενός μπλε ταξί ?

Αν στην πραγματικότητα είχαμε την εμπλοκή ενός μπλε ταξί, η κατάθεση του μάρτυρα θα ανέφερε μπλε (με 80% πιθανότητα) ή πράσινο (με 20% πιθανότητα). Αν είχαμε την πραγματική εμπλοκή ενός πράσινου ταξί, ο μάρτυρας θα κατέθετε μπλε (με 20% πιθανότητα) ή πράσινο (με 80% πιθανότητα). Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις αναμενόμενες πιθανότητες (ποσοστά) για κάθε μία απο τις 4 περιπτώσεις.












Aν ο μάρτυρας κατέθεσε ότι είδε μπλε ταξί, βλέπουμε απο την σειρά που αντιστοιχεί στο μπλε ταξί του, ότι έχουμε 68+3 = 71 ισοπίθανα ενδεχόμενα και συνεπώς προκύπτει πιθανότητα εμπλοκής μπλε ταξί 68/71 = 96%.

Όμως το πιο ενδιαφέρον και παράλληλα εκπληκτικό αποτέλεσμα αφορά την περίπτωση κατά την οποία ο μάρτυρας καταθέτει για πράσινο ταξί. Για σκεφτείτε, ποια μπορεί να είναι η πιθανότητα εμπλοκής ενός πράσινου ταξί ?

Το συντριπτικό ποσοστό ερωτηθέντων σε έρευνες, εκτιμούν ότι υπάρχει 80% πιθανότητα εμπλοκής ενός πράσινου ταξί. Όμως αυτό είναι λάθος, σύμφωνα με τον εξής συλλογισμό :

Χρησιμοποιώντας την αντίστοιχη σειρά του παραπάνω πίνακα έχουμε 17+12 = 29 ισοπίθανα ενδεχόμενα και συνεπώς η πιθανότητα εμπλοκής ενός πράσινου ταξί είναι 12/29 = 41%. Τα ενδεχόμενα για τη σωστή κατάθεση (πράσινο ταξί), δυστυχώς σαρώνονται απο τα ενδεχόμενα των ανακριβών καταθέσεων για τα μπλε ταξί, και φυσικά οι καταθέσεις των μαρτύρων ΔΕΝ έχουν πρακτική αξία !

Θα προτιμούσα να μην θίξω καθόλου το ζήτημα αν ο κανόνας Bayes είναι γνωστός (πόσο μάλλον αν εφαρμόζεται) στα ελληνικά δικαστήρια !


Το τρίτο παράδειγμα αφορά την χρήση του κανόνα Βayes σε τηλεοπτικά παιχνίδια!

Πρόβλημα: Ας υποθέσουμε ότι είστε σε κάποιο τηλεοπτικό παιχνίδι, και ότι σας ζητούν να επιλέξετε μία απο 3 πόρτες. Το μόνο που γνωρίζετε είναι ότι πίσω απο τις πόρτες υπάρχουν 2 κατσίκες και 1 αυτοκίνητο. Επιλέγετε πρώτα μία πόρτα, ας πούμε την #1, και ο παρουσιαστής, που ξέρει τι υπάρχει πίσω απο τις πόρτες, ανοίγει μία άλλη πόρτα, ας πούμε την #3, που πίσω της έχει κατσίκα. Σας λέει λοιπόν: "Θέλετε να αλλάξετε και να επιλέξετε την πόρτα #2 ?"

Το ερώτημα είναι: Έχετε πλεονέκτημα στην περίπτωση που αλλάξετε επιλογή ?

Απάντηση: Αλλάζω επιλογή, γιατί έτσι διπλασιάζω τις ευνοϊκές για μένα πιθανότητες !

Μία απλή εξήγηση είναι η εξής. Η ΑΡΧΙΚΗ πόρτα που επιλέγω (ας πούμε η #1) έχει πιθανότητα 1/3 να κρύβει πίσω της το δώρο. ΑΛΛΑΖΩ επιλογή, επειδή οι 2 ΑΛΛΕΣ πόρτες (#2 και #3) έχουν ΜΑΖΙ πιθανότητα 2/3 να κρύβουν το δώρο. Όμως η μία απο αυτές τις 2 πόρτες απορρίπτεται (ας πούμε η #3), επειδή ο παρουσιαστής την άνοιξε γνωρίζοντας ότι έχει πίσω της κατσίκα. Συνεπώς αλλάζω και επιλέγω την πόρτα που απομένει (δηλαδή την #2), επειδή πλέον από ΜΟΝΗ της έχει πιθανότητα 2/3 να κρύβει το αυτοκίνητο !

Άλλες απλές εξηγήσεις, καθώς και η ανάλυση Bayes, καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα. Το συμπέρασμα είναι, ότι διπλασιάσαμε την ευνοϊκή για εμάς πιθανότητα με την απόφασή μας να αλλάξουμε επιλογή. Σε αυτό μας βοήθησε η επιπλέον πληροφορία (κατσίκα στη πόρτα #3).

Όμως υπάρχει άλλη μία καταπληκτική εκδοχή του παιχνιδιού. Ας πούμε ότι ο
παρουσιαστής ξεχνάει σε ποιά πόρτα βρίσκεται το δώρο. Επιλέγει λοιπόν, και ανοίγει στη τύχη, μία απο τις 2 πόρτες και με ανακούφιση διαπιστώνει ότι απο πίσω υπάρχει κατσίκα. Πως πρέπει να αντιδράσει ο διαγωνιζόμενος ?

Αφού ο παρουσιαστής δεν γνωρίζει τι κρύβουν οι πόρτες, δεν έχει πλέον σημασία αν ο διαγωνιζόμενος αλλάξει ή διατηρήσει την αρχική επιλογή του! Ο διαγωνιζόμενος αλλάζει την αρχική επιλογή του μόνο όταν ο παρουσιαστής γνωρίζει τι κρύβουν οι πόρτες !

Συμπερασματικά, η ουσία της
προσέγγισης του Bayes είναι ότι παρέχει την δυνατότητα να τροποποιούμε την γνώμη μας υπό το φως νέων πληροφοριών! Ουσιαστικά, μας επιτρέπει να συνδυάζουμε την υφιστάμενη γνώση με νεώτερα δεδομένα, χωρίς να διεκδικούμε κάποια απόλυτη αλήθεια.




ΥΓ1: Ακολουθεί ένα επεξηγηματικό video για τις πιθανότητες υπό συνθήκη και το Θεώρημα του Bayes






ΥΓ2: Στo παρακάτω video ξεδιπλώνεται το θεώρημα Bayes με ένα ωραίο παράδειγμα.








ΥΓ3: Aν κάποιοι ακόμα "πιστεύουν" ότι  P(A|B) = P(B|A) [δηλ. ότι η πιθανότητα του A δοθέντος του B = με την πιθανότητα του B δοθέντος του A], υπενθυμίστε τους ότι η πιθανότητα να είσαι έγκυος — με δεδομένο ότι είσαι θηλυκού φύλου — είναι   ∼3%, ενώ η πιθανότητα να είσαι θηλυκού φύλου — με δεδομένο ότι είσαι έγκυος — είναι αξιοσημείωτα μεγαλύτερη!   :)))


May 7, 2009

Επουράνια τσαγιέρα


Υπάρχουν πολλοί ισχυρισμοί που δεν είναι διαψεύσιμοι, επειδή δεν υπάρχει τρόπος να ελεγχθούν. Συχνά συνιστούν τον πυρήνα που διαμορφώνει μία τυφλή πίστη, η οποία συνήθως έχει διαζύγιο με την κοινή λογική.

Είναι θεμιτό να είμαστε επιφυλακτικοί και να αποφεύγουμε την αβασάνιστη αποδοχή των μη διαψεύσιμων ισχυρισμών, ακόμη και αν εμπνέουν, εκστασιάζουν ή φανατίζουν την συντριπτική πλειοψηφία των συνανθρώπων μας.

Διαχρονικά οι πιo πολλοί λαοί έχουν αναπτύξει τους δικούς τους μύθους για την δημιουργία του κόσμου, δανειζόμενοι ιστορίες ο ένας από τον άλλον. Μέσα απο αυτή τη "ζύμωση" δημιουργήθηκε ο μύθος της Γένεσης, στον οποίο ενσωματώθηκε η τυπική θεματολογία που εμφανίζεται σε πολλούς προγενέστερους αλλά και μεταγενέστερους μύθους. Όλοι αυτοί οι πρωτόγονοι μύθοι και οι παιδαριώδεις δεισιδαιμονίες έχουν κοινό παρονομαστή την εξάρτησή μας απο τις σκόπιμες προθέσεις κάποιου ακαθόριστου υπερκόσμιου όντος.

Η δυσκολία διάψευσης της ύπαρξης Θεού, Θεών ή πνευμάτων, δεν αναβαθμίζει την παράλογη τυφλή πίστη στις κάθε είδους επουράνιες οντότητες. Η ίδια δυσκολία διάψευσης υπάρχει ακόμα και για την τερατώδη εξ' αποκαλύψεως αλήθεια ορισμένων φυλών της Νιγηρίας, οι οποίες με αφέλεια διατείνονται, οτι ο θεός δημιούργησε το σύμπαν απο περιτώματα μυρμηγκιών! Είναι προφανέστατο ότι οι προσλαμβάνουσες παραστάσεις παίζουν καθοριστικό ρόλο σε περιβάλλοντα άγνοιας και αμορφωσιάς.

Ο Carl Sagan μίλησε για μη ανιχνεύσιμους αόρατους δράκους, απομυθοποιώντας με έξυπνο τρόπο τις διάφορες "υπερφυσικές" οντότητες. Ο δε Bertrand Russel προώθησε την περίφημη επουράνια τσαγιέρα του, αντικρούοντας επιτυχώς την ιδέα ότι το βάρος της απόδειξης το έχουν οι σκεπτικιστές προκειμένου να διαψεύσουν τους μη διαψεύσιμους ισχυρισμούς των θρησκειών. Σε ένα άρθρο του το 1952 με τίτλο " Υπάρχει Θεός ?", ο Russell έγραψε το εξής:

" Αν έλεγα ότι μεταξύ γης και Άρη υπάρχει μία πορσελάνινη τσαγιέρα σε ελλειπτική τροχιά γύρω απο τον ήλιο, κανείς δεν θα μπορούσε να διαψεύσει τον ισχυρισμό μου, αρκεί να πρόσθετα ότι η τσαγιέρα είναι τόσο μικρή που δεν θα μπορούσαν να την ανιχνεύσουν ούτε τα πιό ισχυρά τηλεσκόπιά μας.

Όμως, αν στη συνέχεια έλεγα ότι, αφού ο ισχυρισμός μου δεν μπορεί να διαψευστεί θα ήταν ασυγχώρητη απρέπεια να τον αμφισβητούμε με την λογική μας, τότε οι περισσότεροι δικαίως θα θεωρούσαν ότι έλεγα ανοησίες.

Αν όμως η ύπαρξη μιας τέτοιας επουράνιας τσαγιέρας αναφερόταν σε πανάρχαια βιβλία, και διδασκόταν ως ιερή αλήθεια κάθε Κυριακή, και ενσταλαζόταν στα μυαλά μικρών παιδιών σε όλα τα σχολεία, τότε ακόμα και ο κάθε μικρός δισταγμός, θα ήταν τέτοιο δείγμα εκκεντρικότητας, που σε φωτισμένους καιρούς θα απέφερε στον αμφισβητία το επίζηλο προνόμιο της ψυχιατρικής φροντίδας, ενώ σε πιο πρώιμη περίοδο την Ιερά Εξέταση. "

Ο Richard Dawkins χρησιμοποίησε το επουράνιο αντικείμενο του Russel στο βιβλίο του A Devil's Chaplain, ως εξής:

" Ο λόγος που οι υπάρχουσες οργανωμένες θρησκείες εισπράτουν απερίφραστη εχθρότητα είναι οτι, σε αντίθεση με την πίστη στην επουράνια τσαγιέρα, έχουν ισχύ, επιροή, απαλάσσονται απο φόρους και προπαγανδίζονται συστηματικά σε παιδιά πολύ νεαρά για να αντιδράσουν και να προστατευθούν. Tα παιδιά υποχρεώνονται να απομνημονεύουν τρελλά βιβλία για τσαγιέρες στα χρόνια που διαπλάθεται η προσωπικότητά τους. Kρατικά επιχορηγούμενα σχολεία αποκλείουν παιδιά των οποίων οι γονείς προτιμούν τσαγιέρες με άλλο σχήμα. Ζηλωτές τσαγιεροπιστοί λιθοβολούν τσαγιεροάπιστους μέχρι θανάτου και προειδοποιούν τα παιδιά τους να μην παντρεύονται άτομα που πιστεύουν σε άλλες τσαγιέρες..."

Η έννοια της τσαγιέρας του Bertrand Russel έχει επεκταθεί και σε άλλες πιo περιπαικτικές μορφές. Τα πλέον "κλασσικά" παραδείγματα είναι το ιπτάμενο μακαρονοτέρας και ο αόρατος ροζ μονόκερος.


Σε τελική ανάλυση, κάθε φορά που αντιμετωπίζουμε ισχυρισμούς για τσαγιέρες ή θεούς, έχουμε την ίδια έλλειψη επιστημονικών αποδείξεων. Η στοιχειώδης λογική επιβάλει να τηρούμε τουλάχιστον αγνωστικιστική στάση, όμως αυτό δεν σημαίνει ότι πρέπει να τοποθετούμε το εντελώς απίθανο στο ίδιο βάθρο με το συντριπτικά πιθανό.

Ας μη ξεχνάμε ότι όλοι μας είμαστε άθεοι για τους περισσότερους απο τους θεούς, στους οποίους πίστεψαν οι κοινωνίες που έχουν υπάρξει στον πλανήτη μας. Απλά μερικοί διαγράφουμε ένα Θεό παραπάνω !



ΥΓ1: Η περίφημη μονόλεπτη απάντηση του Richard Dawkins στο ερώτημα φοιτήτριας: "Κι΄αν κάνεις λάθος ?"





ΥΓ2: Το "Root of All Evil? " είναι ένα τηλεοπτικό ντοκουμέντο, που γράφτηκε και παρουσιάστηκε απο τον Richard Dawkins, ο οποίος επιχειρηματολογεί επάνω στη θέση ότι ο κόσμος θα ήταν πολύ καλύτερος χωρίς τις οργανωμένες θρησκείες.

Tο ωραίο αυτό ντοκουμέντο πρωτοπαρουσιάστηκε τον Ιανουάριο 2006, σε δύο 45-λεπτα επεισόδια, στο βρετανικό Channel 4.


Root of All Evil? Part 1: The God DelusionΕπουράνια Τσαγιέρα στο χρονικό σημείο 46:44)





Root of All Evil? Part 2: The Virus of Faith (απίστευτες Θεϊκές συμβουλές στο χρονικό σημείο 24:18)





ΥΓ3: Ένα υπέροχο τρίλεπτο του καταπληκτικού Chris Hitchens, ενώπιον του φοιτητικού ακροατηρίου τoυ VCU. Θα του έδινα τον τίτλο: "70.000 χρόνια αδιαφορίας!"






ΥΓ4: Στο παρακάτω τρίλεπτο video, o Leonard Susskind, καθηγητής Θεωρητικής Φυσικής στο Stanford, απορρίπτει τον "ευφυή σχεδιασμό" σαν θεωρία δημιουργίας του σύμπαντος.




ΥΓ5: 16 υπέροχα λεπτά με τον επινοητή των quarks, νομπελίστα Murray Gell-Mann, με θέμα "Ομορφιά και αλήθεια στη Φυσική". Στο τελευταίο μισό λεπτό το σχόλιό του γιά το ενδεχόμενο υπερφυσικής παρέμβασης στο σύμπαν, είναι καταλυτικό.

May 2, 2009

Η Υπόθεση Riemann για .. φιλόλογους !


Όταν ο περίφημος Άγγλος μαθηματικός G. H. Hardy αντιμετώπισε ένα επικίνδυνο θαλάσσιο ταξίδι, έγραψε στα γρήγορα μία κάρτα για ένα φίλο του με τα εξής λόγια : "Απέδειξα την υπόθεση Riemann". Όπως εξήγησε αργότερα έχοντας επιβιώσει απο το ταξίδι, αυτή η πράξη του ήταν ένα ασυνήθιστο συμβόλαιο ζωής, επειδή αν υπήρχε θεός δεν θα άφηνε έναν αθεϊστή να πεθάνει σε ναυάγιο και να καρπωθεί την μεταθανάτια δόξα για την επίλυση του πιό διάσημου μαθηματικού προβλήματος.

Σχεδόν ένα αιώνα μετά η υπόθεση Riemann παραμένει αναπόδεικτη. Η λάμψη της είναι απαράμιλλη επειδή κρατάει το κλειδί των πρώτων αριθμών, αυτών των μυστήριων οντοτήτων που επηρεάζουν καθοριστικά τα μαθηματικά.

Υπάρχουν ενδείξεις ότι η λύση του προβλήματος μπορεί να είναι κοντά, και ότι οι πλέον υποσχόμενες προσεγγίσεις δεν προέρχονται απο τον μαθηματικό χώρο, αλλά απο την Φυσική!

Έχει εντοπιστεί μια βαθύτατη σύνδεση μεταξύ της υπόθεσης Riemann και του φυσικού κόσμου, μία σύνδεση που όχι μόνο θα μπορούσε να αποδείξει την υπόθεση, αλλά και να φωτίσει την δυσνόητη συμπεριφορά των ατόμων, των μορίων και γενικά των περίπλοκων συστημάτων του μικρόκοσμου.Οι πρώτοι αριθμοί είναι οι βασικοί δομικοί λίθοι των Μαθηματικών. Επιπλέον είναι ζωτική η σημασία τους στην κρυπτογραφία και στην αυξανόμενη σπουδαιότητα του διαδικτυακού εμπορίου και των συστημάτων ασφαλείας.
 
Φαίνονται απλοί με μία "πρώτη" ματιά. Είναι αριθμοί όπως οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 κλπ, που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και το 1 (η μονάδα δεν συμπεριλαμβάνεται στους πρώτους). Ο Ευκλείδης πρώτος απέδειξε οτι οι πρώτοι δεν έχουν τέλος, δηλαδή ότι είναι άπειροι.

Οι πρώτοι είναι τα άτομα του αριθμητικού συστήματος, επειδή o κάθε ένας απο τους υπόλοιπους σύνθετους αριθμούς (που δεν είναι πρώτοι) συντίθεται με μοναδικό τρόπο, και συγκεκριμένα με τον πολλαπλασιασμό πρώτων αριθμών (πχ 3 Χ 7 = 21). Δυστυχώς δεν υπάρχει περιοδικός πίνακας γιά τους πρώτους, που είναι απρόβλεπτοι μέχρι τρέλας. Η εύρεση νέων πρώτων είναι κατά κανόνα ζήτημα δοκιμής και λάθους.

Τον 19ο αιώνα οι μαθηματικοί βρήκαν λίγη τάξη στο φαινομενικό αυτό χάος. Αν και ο κάθε πρώτος ξεπετιέται αναπάντεχα, η συνολική κατανομή τους ακολουθεί μία τάση, όπως πχ η ρίψη ενός νομίσματος, όπου το αποτέλεσμα είναι μεν απρόβλεπτο, αλλά μετά απο πολλές ρίψεις περιμένουμε να έχουμε περίπου μισές κορώνες και μισά γράμματα.

Οι πρώτοι αριθμοί γίνονται όλο και πιό σπάνιοι όσο ψάχνουμε για μεγαλύτερους (δείτε το διάγραμμα), και οι μαθηματικοί διαπίστωσαν ότι αυτή η αραίωσή τους είναι προβλέψιμη. Η συνάρτηση μέτρησης πρώτων π(x) μετρά το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι από κάποιο δεδομένο αριθμό x. Tο 1792 ο Gauss, σε ηλικία 15 ετών, βρήκε ότι η συνάρτηση μέτρησης πρώτων π(x) υπολογίζεται "περίπου" απο τον τύπο x/ln(x), όπου ln(x) είναι ο φυσικός λογάριθμος του x. Έτσι, για παράδειγμα, υπάρχουν περίπου 400.000.000 πρώτοι αριθμοί (ποσοστό ~ 4%) που είναι μικρότεροι απο τον αριθμό 10.000.000.000 !
 












Μέχρι εδώ καλά. Αλλά όμως αυτό το "περίπου" είναι πολύ ασαφές. Οι αριθμοί είναι προϊόντα της απλής λογικής και θα όφειλαν να συμπεριφέρονται με ακριβή και κανονικό τρόπο. Οι μαθηματικοί θα ήθελαν τουλάχιστον να γνωρίζουν πόσο "απέχουν" οι πρώτοι απο την προαναφερθείσα κατανομή.

Ευτυχώς, ο Bernhard Riemann βρήκε ένα ζωτικό μονοπάτι. Το 1859, ανακάλυψε οτι τα μυστικά των πρώτων είναι κλεισμένα μέσα σε ένα μαθηματικό αντικείμενο που ονομάζεται συνάρτηση ζήτα . Η συνάρτηση ζήτα είναι απλά μία ιδιαίτερη διαδικασία μετατροπής ενός αριθμού σε έναν άλλο.






Ο Riemann αποφάσισε να διερευνήσει τι συμβαίνει όταν η συνάρτηση ζήτα τροφοδοτηθεί με μιγαδικούς αριθμούς, δηλαδή αριθμούς που είναι κατασκευασμένοι να έχουν ένα "πραγματικό μέρος" (ένα συνηθισμένο αριθμό) και ένα "φανταστικό μέρος" (ένα πολλαπλάσιο του i, την τετραγωνική ρίζα του -1). Επειδή ένας μιγαδικός αριθμός καθορίζεται απο 2 αριθμούς, τους φανταζόμαστε σε ένα μιγαδικό επίπεδο, με τους πραγματικούς στον οριζόντιο άξονα και τους φανταστικούς στον κάθετο άξονα. O Bernhard Riemann βρήκε ότι ορισμένοι αριθμοί όταν εισαχθούν στη συνάρτηση ζήτα, παράγουν το αποτέλεσμα μηδέν. Αυτές είναι οι περίφημες ρίζες της συνάρτησης ζήτα. Τα λίγα μηδενικά που κατάφερε να υπολογίσει βρίσκονταν ΟΛΑ σε μία κάθετη γραμμή στο μιγαδικό επίπεδο, και έτσι υπέθεσε ότι, εξαιρώντας ορισμένες τετριμμένες περιπτώσεις, ΟΛΑ τα άπειρα μηδενικά θα πρέπει να βρίσκονται ακριβώς επάνω σε αυτή την κρίσιμη ευθεία ! Aυτή είναι η υπόθεση Riemann.

Τι σχέση έχουν τα παραπάνω με τους πρώτους ? Αν σχεδιάσουμε τα πλήθη των πρώτων που υπάρχουν κάτω απο διαφορετικούς αριθμούς, αυτό που προκύπτει είναι μία ομαλή καμπύλη με υπερτιθέμενους ακανόνιστους κυματισμούς, δηλαδή ο κανόνας του x/ln(x), συν επιπρόσθετες αποκλίσεις.

Το κρίσιμο σημείο είναι οτι μπορούμε να φανταστούμε αυτές τις αποκλίσεις σαν ένα κύμα. Όπως ένα ακανόνιστο ηχητικό κύμα, έτσι και αυτό το γράφημα των ακανόνιστων αποκλίσεων συντίθεται απο πολλές συχνότητες (ανάλυση Fourier). Τι είναι όμως αυτές οι συχνότητες ? Απλούστατα, είναι τα μηδενικά (οι ρίζες) του Riemann ! Τα μηδενικά είναι η μουσική των πρώτων αριθμών !!

Ο Riemann υπολόγισε ότι αν η υπόθεσή του είναι αληθής και τα μηδενικά όντως κείνται στην κρίσιμη ευθεία, τότε οι πρώτοι αριθμοί αποκλίνουν απο την κατανομή x/ln(x) ακριβώς όπως και οι ρίψεις νομισμάτων αποκλίνουν απο την κατανομή 50:50. Αυτό είναι ένα καταπληκτικό συμπέρασμα ! Οι πρώτοι δεν είναι απλά απρόβλεπτοι, στην πραγματικότητα συμπεριφέρονται σαν ο καθένας τους να επιλέγεται τυχαία με πιθανότητα 1/ln(x), σχεδόν σαν να επιλέγονται με σταθμισμένο νόμισμα. Έτσι λοιπόν οι πρώτοι είναι μέχρι ενός σημείου εξημερωμένοι, επειδή μπορούμε να κάνουμε στατιστικές προβλέψεις γι' αυτούς, όπως και για τις ρίψεις νομισμάτων. Όμως όλα τα παραπάνω ισχύουν ΜΟΝΟ αν αληθεύει η υπόθεση Riemann ! Αν ΟΛΑ τα μηδενικά δεν ευθυγραμμιστούν επάνω στην κρίσιμη ευθεία, τότε οι πρώτοι αριθμοί είναι πολύ πιό απείθαρχοι από όσο νομίζουμε. Ενδεχόμενη αστοχία της υπόθεσης Riemann θα δημιουργούσε όλεθρο στην κατανομή των πρώτων, και εκατοντάδες μαθηματικά θεωρήματα που βασίζονται στην αλήθεια της υπόθεσης Riemann θα ήταν για τα σκουπίδια !

Γι' αυτό το λόγο οι μαθηματικοί θέλουν να αποδείξουν ότι η περίφημη υπόθεση είναι αληθής. Αλλά πως αποδεικνύεται κάτι που αφορά άπειρους αριθμούς? Διάφοροι ερευνητές έχουν επιβεβαιώσει ότι τα πρώτα 10 τρισεκατομμύρια μηδενικά ευθυγραμμίζονται με την κρίσιμη ευθεία. Αν έστω και μόνο ένα απο αυτά δεν ήταν επάνω στην κρίσιμη ευθεία, αυτό θα αρκούσε για τον θάνατο της υπόθεσης Riemann.

Αυτό είναι μεν ενθαρυντικό αλλά δυστυχώς δεν είναι αρκετό, επειδή πάντα θα υπάρχουν άπειρα μηδενικά να ελεγχθούν. Η Θεωρία Αριθμών έχει πολλά παραδείγματα εικασιών που ήταν ευλογοφανείς και υποστηρίζονταν απο τεράστιο όγκο αριθμητικών δεδομένων, αλλά χρειάστηκε ένα μόνο αντιπαράδειγμα για να τις "σκοτώσει". Απαιτείται λοιπόν κάποια βαθύτερη ενορατική προσέγγιση.

Στις αρχές του 20ου αιώνα οι μαθηματικοί έκαναν μία τολμηρή εικασία: ότι τα μηδενικά του Riemann μπορεί να αντιστοιχούσαν με τις ενεργειακές στάθμες ενός κβαντομηχανικού συστήματος !

Η κβαντομηχανική ασχολείται με την συμπεριφορά μικροσκοπικών σωματιδίων όπως τα ηλεκτρόνια. Οι εξισώσεις της δουλεύουν κυρίως με μιγαδικούς αριθμούς, αλλά η ενέργεια ενός φυσικού συστήματος πάντοτε μετριέται απο πραγματικό αριθμό. Οι ενεργειακές στάθμες σχηματίζουν ένα άπειρο σύνολο αριθμών που κείνται κατά μήκος του πραγματικού άξονα στο μιγαδικό επιπεδο, σε ευθεία γραμμή. Αυτό μπορεί "ακούγεται" σαν τα μηδενικά του Riemann, αλλά για δεκαετίες δεν ήταν παρά ευσεβής πόθος.

Ξαφνικά το 1972 είχαμε έναν υπαινιγμό για κάτι καλύτερο. Ο Hugh Montgomery, του Πανεπιστημίου Michigan, είχε βρει έναν μαθηματικό τύπο για τις αποστάσεις μεταξύ των ριζών Riemann. Σε ένα ταξίδι του στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών στο Princeton, συναντήθηκε στο απογευματινό τσάϊ με τον φυσικό Freeman Dyson και του ανέφερε τον μαθηματικό τύπο του. Ο Dyson τον αναγνώρισε αμέσως! Ήταν ταυτόσημος με τον τύπο που έδινε τις αποστάσεις μεταξύ των ενεργειακών σταθμών μιας ειδικής κατηγορίας χαοτικών συστημάτων, τα κβαντικά χαοτικά συστήματα.

Η Θεωρία του Χάους αφορά φυσικά συστήματα τόσο ευαίσθητα στις αρχικές συνθήκες, που δεν υπόκεινται σε προβλέψεις. Πχ στη χαοτική γήϊνη ατμόσφαιρα, ένα ελάχιστο ρεύμα απο τα φτερά μιας πεταλούδας στην Κίνα, θα μπορούσε να δημιουργήσει ένα τυφώνα στη Καραϊβική. Σχεδόν όλα τα περίπλοκα συστήματα είνα χαοτικά. Οι κβαντικές εκδοχές αυτών των συστημάτων αποτελούνται απο ένα συνονθύλευμα ενεργειακών σταθμών, φαινομενικά σκορπισμένων με τυχαίο τρόπο, αλλά στην πραγματικότητα με αποστάσεις σύμφωνα με την φόρμουλα του Montgomery. Τα κβαντικά χαοτικά συστήματα συμπεριλαμβάνουν άτομα μεγαλύτερα απο το υδρογόνο, μεγάλους ατομικούς πυρήνες, όλα τα μόρια, καθώς και τα ηλεκτρόνια που παγιδεύονται σε μικροσκοπικές αρένες που ονομάζονται κβαντικές κουκίδες. Θα μπορούσαν άραγε οι ρίζες του Riemann να ταιριάξουν με τις ενεργειακές στάθμες αυτών των κβαντικών χαοτικών συστημάτων?

Στο τέλος της δεκαετίας του '80 ο Andrew Odlyzko των εργαστηρίων AT&T επέλεξε μία ποικιλία συστημάτων, και συνέκρινε τις ενεργειακές τους στάθμες με τις ρίζες Riemann. Το αποτέλεσμα ήταν μία ανακάλυψη που ηλέκτρισε μαθηματικούς και φυσικούς. Ο Odlyzko όταν υπολόγισε μέσους όρους απο πολλά διαφορετικά χαοτικά συστήματα, βρήκε ότι οι αποστάσεις των ενεργειακών τους σταθμών, ταίριαζαν με τις αντίστοιχες αποστάσεις Riemann με εκπληκτική ακρίβεια.

Όμως ούτε αυτό είναι αρκετό. Για να αποδείξουν την υπόθεση Riemann, οι ερευνητές πρέπει να εντοπίσουν ένα συγκεκριμένο κβαντικό σύστημα του οποίου οι ενεργειακές στάθμες να αντιστοιχούν ακριβώς στα μηδενικά, και να αποδείξουν ότι αυτό συμβαίνει ως το άπειρο. Ποιό απο όλα τα κβαντικά συστήματα είναι το σωστό ?

Σε ένα χαοτικό σύστημα, ένα αντικείμενο συνήθως κινείται απρόβλεπτα, αλλά μερικές φορές η διαδρομή του επανέρχεται στο εαυτό της σε "περιοδική τροχιά". Οι Berry and Keating θεωρούν ότι το σωστό κβαντικό σύστημα θα έχει μία άπειρη συλλογή περιοδικών τροχιών, μία για τον κάθε πρώτο αριθμό. Το 1999 οι Katz και Sarnak προέβλεψαν ότι ένα τέτοιο σύστημα θα πρέπει να έχει ένα ειδικό είδος συμμετρίας, που ονομάζεται συμπλεκτική συμμετρία .

Ελπίζεται ότι οι παραπάνω "άκρες" θα επιτρέψουν στους κβαντικούς "χαοτικολόγους" να πλησιάσουν και τελικά να εντοπίσουν το το ένα και μοναδικό σύστημα που θα "αποδείξει" την υπόθεση Riemann.

Βέβαια υπάρχουν και άλλες ελπιδοφόρες προσεγγίσεις όπως αυτή του Alain Connes, ο οποίος δημιούργησε ένα σύστημα γεωμετρικού χώρου καταστάσεων που ήδη περιέχει τους πρώτους αριθμούς. Για να το κατανοήσουμε αρκεί να φανταστούμε ένα κβαντικό σύστημα ΟΧΙ ως σωματίδιο που χοροπηδάει γύρω απο ένα άτομο, ΑΛΛΑ σαν ένα γεωμετρικό σχήμα ! Φαίνεται παράξενο, αλλά έτσι αναπαρίσταται μια απο τις παραξενιές των κβαντικών συστημάτων : το φαινόμενο της υπέρθεσης καταστάσεων.

Όπως η γάτα του Schrödinger, που είναι ένα περίεργο μείγμα ταυτόχρονα ζωντανής και νεκρής γάτας, οποιοδήποτε κβαντικό αντικείμενο μπορεί να υπάρχει σε μία υπέρθεση διαφορετικών καταστάσεων. Για να χαρακτηρίσουν αυτή την ακατάστατη συνύπαρξη οι φυσικοί χρησιμοποιούν τον χώρο καταστάσεων. Για κάθε ενδεχόμενο (πχ "ζωντανή" ή "νεκρή" γάτα), δημιουργείται ένας νέος άξονας και προστίθεται μία νέα διάσταση στον χώρο. Για παράδειγμα στον "γατίσιο" χώρο του Erwin Schrödinger, μαρκάρουμε μία μονάδα κατά μήκος του x-άξονα που να αναπαριστά την ολοζώντανη γάτα. Παρομοίως, για την κατάνεκρη γατούλα θα έχουμε μία μονάδα κατά μήκος του y-άξονα, ενώ η ημι-ζωντανή, ημι-νεκρή γάτα θα βρίκεται κάπου στο τόξο μεταξύ αυτών των σημείων.

Το "σχήμα " αυτού του χώρου επηρεάζει το πως οι καταστάσεις κινούνται μέσα του, και συνεπώς το πως δουλεύει το φυσικό σύστημα, πράγμα που περιλαμβάνει και την διάρθρωση των ενεργειακών σταθμών. Ο Connes αποφάσισε να κατασκευάσει ένα κβαντικό χώρο καταστάσεων βασισμένο στους πρώτους αριθμούς, δημιουργώτας ένα χώρο απείρων διαστάσεων, τις Adeles. Στην πρώτη διάσταση οι μετρήσεις γίνονται χρησιμοποιώντας τη λεγόμενη 2-adic γεωμετρία, στη δεύτερη διάσταση την με την 3-adic γεωμετρία, στην τρίτη διάσταση με την 5-adic γεωμετρία κ.ο.κ (p-adic για όλους τους πρώτους αριθμούς).

Το 1999 ο Connes απέδειξε ότι το κβαντικό του σύστημα που οι διαστάσεις του βασίζονται στους πρώτους, έχει ενεργεακά επίπεδα που αντιστοιχούν σε όλες τις ρίζες Riemann που βρίσκονται στην κρίσιμη ευθεία. Θα κερδίσει την υπέρτατη φήμη αν κάνει ένα τελευταίο βήμα. Του μένει να αποδείξει οτι δεν υπάρχουν άλλα επιπλέον μηδενικά που δεν έχουν υπολογιστεί στις ενεργειακές του στάθμες. Αυτό το τελευταίο βήμα φαίνεται τρομερό. Μήπως ο Connes απλά αντικατέστησε την υπόθεση Riemann με ένα εξίσου δύσκολο πρόβλημα? Ο χρόνος θα δείξει...

Η απόδειξη της υποθεσης Riemann δεν είναι το τέλος της ιστορίας. Θα δημιουργήσει μιά σειρά απο δυσκολότερα και πιο διεισδυτικά ερωτήματα. Γιατί οι πρώτοι αριθμοί επιτυγχάνουν μια τόσο ευαίσθητη ισορροπία ανάμεσα στην τυχαιότητα και την τάξη ? Αφού η δομή τους κωδικοποιεί την συμπεριφορά των κβαντικών χαοτικών συστημάτων, τι άλλα διαμάντια μπορεί να αποκαλύψουμε όταν σκάψουμε βαθύτερα ? Ποιά μυστικά έχουν κλειδωμένα ?



ΥΓ1: Στο παρακάτω εκλαϊκευμένο άρθρο του ο Marcus du Sautoy , εξηγεί μερικές απο τις λεπτομέρειες της σύνδεσης μεταξύ των πρώτων αριθμών και της κβαντικής φυσικής:
 

Prime Numbers Get Hitched
 

Για τους φίλους του "Γυρίστε τον Γαλαξία με Ωτοστόπ" έχει ενδιαφέρον η σύμπτωση ότι ο αριθμός 42 είναι ο τρίτος αριθμός μιας μαθηματικής σειράς, της "τρίτης ροπής" της συνάρτησης ζ του Riemann !
 

1, 2, 42, 24024, 701149020, 1671643033734960, 475073684264389879228560, 22081374992701950398847674830857600, 220381378415074546123953914908618547085974856000, ...
 
ΥΓ2: Ένα ωραίο άρθρο απο το Πανεπιστήμιο του Bristol γιά τη σχέση της κβαντικής φυσικής με την υπόθεση Riemann:

H κβαντική Φυσική ρίχνει φώς στην υπόθεση Rieman

ΥΓ3: Μία στοιχειώδης οπτικοποιημένη παρουσίαση των πρώτων αριθμών και της συνάρτησης ζήτα του Riemann:
 
H κατανομή των πρώτων αριθμών
 
ΥΓ4: Δύο όχι και τόσο ... στοιχειώδεις παρουσιάσεις σχετικά με την "κωδικοποίηση" της κατανομής των πρώτων αριθμών διαμέσου των μη τεριμμένων ριζών της συνάρτησης ζ του Riemann:
 
Η κοινή προσέγγιση
Η πιο κομψή προσέγγιση