Mη πατάτε τη... χλόη !

Το γέλιο απαλύνει ακόμη και τα χειρότερα χτυπήματα της ζωής. Είναι ένα αποτελεσματικό εξελικτικό όπλο του ανθρώπινου είδους, που διευκολύνει την έκλυση ενδορφινών στον εγκέφαλο - όπως άλλωστε ο πόνος και η άσκηση - και βοηθάει στην επιβίωση από οποιαδήποτε δυσάρεστη κατάσταση, όσο οδυνηρή κι' αν είναι.

Υπάρχουν φορές που δεν μπορούμε να αποφύγουμε το γέλιο. Έρχεται ξαφνικά, σαν απρόσκλητος επισκέπτης και εγκαθίσταται στην αγαπημένη μας πολυθρόνα, όσο εκείνο θέλει. Και τότε, το σύμπαν περιέρχεται σε μία καλειδοσκοπική κατάσταση καινούργιων ενδεχομένων !

Συνεπώς το γέλιο - αλλά και το ευρύτερο "υπερσύνολό" του που ονομάζουμε χιούμορ - παρέχουν την απαραίτητη απόσταση για να σταθούμε μπροστά σε μία κατάσταση και να την αντιμετωπίσουμε, ώστε μετά να συνεχίσουμε απτόητοι τη ζωή μας.

Μερικές φορές όταν με εκνευρίζει η αποπνικτική σοβαροφάνεια ορισμένων, σκέφτομαι τα λόγια του Peter Ustinov: "To γέλιο θα ήταν θλιμμένο, αν δεν υπήρχε ο σνομπισμός!"  Τι υπέροχη φράση από τον  άνθρωπο που, σύμφωνα με έναν επικήδειό του στην Die Zeit, όταν ρωτήθηκε, απάντησε ότι ήθελε η μοναδική μαρμάρινη επιγραφή στον τάφο του, να είναι χαραγμένη με το εξής απέριττο: 

"Mη πατάτε τη... χλόη!" 

Tη χλόη του τάφου του, εννοείται...

 

YΓ. Αντίθετα με τη χλόη, πατείστε άφοβα εικόνες και συνδέσμους!

:)

Ανέλπιστα παράξενη έλξη !

To 1963, o Edward Lorenz (1917-2008) διερευνούσε την μετάδοση θερμότητας με συναγωγή στην γήϊνη ατμόσφαιρα. Επειδή οι περίφημες εξισώσεις Navier-Stokes, που περιγράφουν την δυναμική συμπεριφορά των ρευστών, ήταν (και είναι μέχρι σήμερα !) αδύνατον να επιλυθούν στην πλήρη τους μορφή, τις απλοποίησε δραστικά χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις συναγωγής του Saltzman. Όσοι έχετε κάποια "έκνομη" ή έστω "ρομαντική" σχέση με τα Μαθηματικά, μη διστάσετε να ρίξετε μιά αδίστακτη ματιά στη σελ. 134 της ιστορικής δημοσίευσης του Lorentz !

Τελικά ο Lorenz επινόησε ένα δραματικά απλοποιημένο μαθηματικό μοντέλο. Οι εραστές της μαθηματικής λεπτομέρειας μπορούν να δουν τις εξισώσεις 25, 26 και 27 στη σελ. 135 της δημοσίευσης.

Το μοντέλο Lorenz έχει ελάχιστη σχέση με ότι λεπτομερώς συμβαίνει στην ατμόσφαιρα. Αν και ήταν ένα παιχνίδι-μοντέλο που είχε ως στόχο την κατανόηση ενός απίστευτα περίπλοκου φαινομένου, ο Lorenz σύντομα αντιλήφθηκε ότι είχε μεγάλο ενδιαφέρον από μαθηματική άποψη.

Υπάρχουν μόνο τρεις παράμετροι στο μοντέλο του (στη δημοσίευση του 1963 χρησιμοποίησε τις τιμές  σ = 10, β = 8/3, ρ = 28) έτσι ώστε κάθε σημείο (x,y,z) συμβόλιζε μία ξεχωριστή κατάσταση της ατμόσφαιρας, ενώ η μεταβολή του καιρού κατέληγε σαν εξέλιξη τροχιών σε τριδιάστατο διανυσματικό χώρο φάσεων.

Το πρώτο θεαματικό εύρημα ήταν η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Δύο αρχικές  καταστάσεις της ατμόσφαιρας, που πρακτικά είναι σχεδόν ίδιες, πολύ σύντομα εξελίσσονται εντελώς διαφορετικά και οι τροχιές τους αποκλίνουν δραματικά!

Όμως το δεύτερο εύρημα ήταν ασύγκριτα αντι-διαισθητικότερο !  Οι τροχιές οποιουδήποτε μεγάλου αριθμού αρχικών καταστάσεων ΠΑΝΤΑ καταλήγουν μετά απο λίγο στο ίδιο τρισδιάστατο αντικείμενο του χώρου φάσεων, που έχει το ανέλπιστο σχήμα πεταλούδας: Τον υπέροχο ελκυστή του Lorenz ! Έναν παράξενο ελκυστή...

 

ΥΓ. Είναι... υποχρεωτικό το κλικάρισμα στην παραπάνω εικόνα !

:)

Κατοπτρική συμμετρία καρδιναλίων

Τι ακριβώς είναι η έννοια της συμμετρίας? 

Είναι ένας μετασχηματισμός, ο οποίος αφού εφαρμοστεί τουλάχιστον εννοιολογικά επάνω σε ένα σύστημα, αφήνει αναλλοίωτη κάποια ιδιότητά του, είτε αυτό το σύστημα είναι ένα αφηρημένο μαθηματικό "αντικείμενο" της Θεωρίας Ομάδων, είτε είναι ένα σύνολο μαθηματικών εξισώσεων,  είτε είναι ένα χειροπιαστό γεωμετρικό ή αρχιτεκτονικό αντικείμενο.

Μιλώντας για συμμετρία, αν στις αρχές της άνοιξης βρεθείτε κάποτε στη Βόρεια ή την Νότια Αμερική και κοιτάξετε έξω απο το παράθυρό σας, ενδεχομένως να παρατηρήσετε το πουλί καρδινάλιο (της οικογένειας Cardinalidae) να επιτίθεται στην αντανάκλασή του στο τζάμι. Ο όμορφος καρδινάλιος είναι το μοναδικό πουλί που συχνά επιδεικνύει αυτή τη συμπεριφορά, ιδιαίτερα όταν η φωλιά του είναι πολύ κοντά και νομίζει ότι κάποιος άλλος καρδινάλιος προσπαθεί να εισβάλλει στην περιοχή του!

Το υπέροχο αυτό πουλί ποτέ δεν αντιλαμβάνεται ότι επιτίθεται στην δική του αντανάκλαση.  Δυστυχώς, οι καρδινάλιοι δεν γνωρίζουν πολλά πράγματα για την κατοπτρική συμμετρία, αλλά ούτε για τις συμμετρίες γενικότερα !

Αν η Φύση ήταν εντελώς  συμμετρική, τότε η Θεωρία των Πάντων θα ήταν πανεύκολη και προφανής, επειδή θα υπήρχε μία μόνο θεμελιώδης αλληλεπίδραση και όχι τέσσερεις! Όμως ο κόσμος γύρω μας είναι γεμάτος από ρήξεις συμμετριών, με συνέπεια τις κρυμμένες συμμετρίες.

To σύμπαν θα ήταν ανιαρό αν δεν υπήρχε ρήξη των συμμετριών. Τα πάντα θα ήταν ομοιογενή και δεν θα είχαν αναδυθεί αυθόρμητα κάποιες μορφές ζωής ώστε να παρατηρούν την απόλυτη συμμετρία των πάντων. Συνεπώς οι ρήξεις των συμμετριών κάνουν το σύμπαν ενδιαφέρον και παρατηρήσιμο.  

Μία απλοϊκή εξήγηση της ρήξης των συμμετριών αφορά το μακροσκοπικό παράδειγμα της πήξεως του νερού. Το νερό σε υγρή μορφή έχει μεγάλο βαθμό συμμετρίας. Όσο και να το περιστρέψουμε παραμένει ομοιογενές νερό, οι δε εξισώσεις που το περιγράφουν είναι εξίσου συμμετρικές. Όμως, όταν το ψύξουμε αργά, παρατηρούμε τον σχηματισμό τυχαίων κρυστάλλων σε όλες τις κατευθύνσεις, που δημιουργούν ένα χαοτικό δίκτυο, το οποίο τελικά γίνεται πάγος. Αν και οι αρχικές εξισώσεις εμπεριέχουν μεγάλη συμμετρία, οι λύσεις τους δεν είναι κατ' ανάγκη συμμετρικές.

Ο λόγος που συμβαίνει αυτή η ασύμμετρη αλλαγή φάσης έγκειται στο ότι η Φύση ΠΑΝΤΑ προτιμάει να βρίσκεται στην ελάχιστη ενεργειακή κατάσταση. Βλέπουμε ποικίλα τέτοια παραδείγματα γύρω μας. Το νερό ρέει προς τα κάτω, επειδή φλερτάρει με την ελάχιστη ενεργειακή κατάσταση. Για τον ίδιο λόγο οι σταγόνες έχουν σφαιρικό σχήμα. Παρομοίως, στον κβαντικό μικρόκοσμο οι κάθε λογής μεταπτώσεις συμβαίνουν επειδή κάποιο σύστημα είχε σημείο αφετηρίας μία "λάθος" ενεργειακή κατάσταση ― το λεγόμενο ψευδοκενό ― ενώ θα "προτιμούσε" την μετάβαση σε χαμηλότερη ενεργειακή στάθμη (αυθόρμητη μετάπτωση ψευδοκενού!)

Είναι πλέον γνωστό ότι το big bang δημιούργησε τον χρόνο και τον χώρο, που ΔΕΝ προϋπήρχαν ! Το δε σύμπαν που προέκυψε αυθόρμητα, μπορεί πλέον να θεωρηθεί σαν μία ιεραρχία διαδοχικών ρήξεων συμμετριών, δηλαδή ως μία μετάπτωση από την τέλεια αρχική συμμετρία του big bang μέχρι τα περίπλοκα αχνάρια των σπασμένων, αλλά κρυμμένων συμμετριών που βλέπουμε γύρω μας. Συνεπώς, είναι αδιανόητο να λοιδωρεί κανείς τον πανέμορφο καρδινάλιο και να μην απολαμβάνει τις ενδιαφέρουσες εφορμήσεις του στις βαρετές ομοιόμορφες τζαμαρίες ! 

ΥΓ. Κλικάρετε αδίστακτα τα 12 link, τις 2 εικόνες και το video

:)

Mas, que nada (No way!)

Mία απο τις εκπληκτικότερες ερμηνίες της samba που έγραψε και πρωτοερμήνευσε ο Jorge Ben τo 1963 ! 

H φωνή της θεάς του swing Ella Fitzgerald με παραπέμπει σε  απορρεύματα απίστευτης νοσταλγίας...

Ooh, when your eyes meet mine ... pow! pow! pow! 

Ooh, I could lose my mind ... ow! ow! ow! 

It's a feelin' that things are gonna grow inside me

Til I feel that I'm gonna explode...

Ooh, this is what you do to me.


Are your lips saying things that you feel in your heart?

If your heart is beating madly, then let the music start.


Hold me, hold me,

It's heaven, oh it's heaven when you hold me;

I want you night and day, I want you here to stay.

YΓ. Επιβάλλονται τα κλικ σε εικόνες και link !

:)

Στις στεγνές θεούσες

Αντώνης Αντωνάκος - Προσευχούλα

Βαρβάτε αιώνιε πατέρα
Δεν έχω τίποτε να σου προσάψω

Μονάχα να σ’ ευχαριστήσω που δε μ’ έκανες
Αόμματο
Ανάπηρο
Λεπρό
Μαύρο
Γυναίκα
Ανθρακωρύχο
Πούστη
Αλβανό

Ω αιώνιε πατέρα
Ποιητή ουρανού και γης
Τα πάντα εν σοφία εποίησες

Την ιδιωτική πρωτοβουλία
Το δυισμό
Το καλό και το κακό
Τα σχοινιά του νεκροθάφτη
Τους ελληνιστές
Τους εργασιομανείς

Και τις στεγνές θεούσες
Που όλο σου στέλνουν ραβασάκια
Και το παλεύουν
Για ένα ουράνιο ραντεβού 

Ντίνος Χριστιανόπουλος - Μικρά ποιήματα 

«Καλύτερα να πάμε σινεμά» μου είπε 
«βαριέμαι στο δωμάτιό σου» 

παράξενα παιδιά
προτιμούν να καυλώνουν εξ αποστάσεως
παρά εξ επαφής

Έκπληξη και Πιθανότητες

 

Είμαι σχεδόν βέβαιος (?) ότι ο νόμος των Μεγάλων Αριθμών (Θεωρία Πιθανοτήτων) "λειτουργεί" και με ... "προστατεύει". Πχ, αν ρίξω ένα "δίκαιο" νόμισμα 10.000 φορές, μπορώ εύκολα να στοιχηματίσω στo ετήσιo εισοδημά μου, ότι ΔΕΝ θα έρθει 10.000 συνεχόμενες φορές η "κορώνα"!

Η Κβαντομηχανική, η Στατιστική Μηχανική και γενικότερα η Φυσική βασίζονται σ' αυτό. Ωστόσο δεν υπάρχει κανείς που μπορεί να το αποδείξει, ούτε να γνωρίζει το γιατί!

Όμως, τι μας "λέει" για τη Φύση η ρίψη ενός νομίσματος?

Μήπως μας "λέει" ότι θα έρθει "κορώνα" 5.000 φορές και "γράμματα" άλλες τόσες? Όχι, δεν μας λέει αυτό!

Μήπως μας λέει ότι θα έρχεται η "κορώνα" πάντα μέσα στο αποδεκτό περιθώριο λάθους, ~10.000^1/2 , δηλαδή  4.900 - 5.100 ?  Όχι, δεν μας λέει ΟΥΤΕ αυτό!

Αυτό που τελικά μας "λέει" είναι ότι είναι απίθανο να ρίξουμε ένα νόμισμα 10.000 φορές "κορώνα", αλλά κυρίως ότι οι πιθανότητες ορίζονται με όρους... πιθανότητας!

 Όμως, τι ουσιαστικό μας "λέει" για τη Φύση?

Το μόνο πράγμα στο οποίο μπορεί κανείς να καταλήξει είναι ότι θα μείνει έκπληκτος, αν το αποτέλεσμα είναι έξω από το περιθώριο λάθους!

Τι? Αυτό δεν συμβαίνει πολύ συχνά? Γιατί?

Κι' όμως, θα μπορούσε να συμβαίνει πολύ συχνά! Η Θεωρία Πιθανοτήτων ΔΕΝ μας "λέει" ότι τα απίθανα φαινόμενα ΔΕΝ συμβαίνουν! Μας λέει απλώς ότι είναι... απίθανα!

Αλλά, τι σημαίνει "απίθανα"? Σημαίνει ότι συμβαίνουν σπάνια.

Όμως, τι εννοούμε με το "σπάνια"? Αφού ΟΛΑ μπορούν να συμβούν οποιαδήποτε συγκεκριμένη στιγμή!

Ναι! Αλλά είναι... απίθανα!

Το τελευταίο δεν μας "λέει" τίποτα, πέρα από το ότι κάποια στιγμή θα εκπλαγούμε!

Δεν κρύβω ότι μερικές φορές με ενοχλεί η ιδέα ότι οι πιό βασικές αρχές της Φυσικής εξαρτώνται από το τι και πότε θα μας "εκπλήξει", παρόλο που η Κβαντομηχανική ― δηλ. ο απόλυτος πυρήνας της σύγχρονης Φυσικής ― είναι ένα απίστευτα καλά τεσταρισμένο επιστημονικό πεδίο, με την εκπληκτική ακρίβεια του  1 : 10¹⁵ !!!

Αυτή είναι η ενορατική μου προσέγγιση και νομίζω ότι ... πιθανότατα είναι σωστή :))))

ΥΓ1. Κλικάρετε αδίστακτα τους 2 πίνακες του Michele Del Campo

ΥΓ2. Επίσης κλικάρετε ... άφοβα τα 14  link του κειμένου!

:)

Σκόρπιες σκέψεις

 

Dominique-Louis-Féréa Papety (1843-44) - The Temptation of Saint Hilarion

Ενδεχομένως να επισκεπτόμουν βιαστικά τον Παράδεισο μόνο για το καλό του ... κλίμα, αλλά σίγουρα θα προτιμούσα μόνιμα την Kόλαση, επειδή - κατά τεκμήριο -  εκεί κατοικοεδρεύουν οι πιό ενδιαφέροντες άνθρωποι.

Ανάμεσα σε δύο κακές επιλογές, επιλέγουμε άφοβα εκείνη που δεν δοκιμάσαμε ποτέ.

Αρκετοί άνθρωποι φοβούνται τα ύψη. Εγώ όχι! Φοβάμαι τα ... πλάτη.

Οι πολιτικοί που υποτιμούν την νοημοσύνη του Σταύρου και χαϊδεύουν τ' αυτιά του ... Μήτσου, μπορούν άνετα να βασίζονται στην υποστήριξη του κάθε Μήτσου.

Η ζωή είναι σκληρή. Στο τέλος ΠΑΝΤΑ σε ... πεθαίνει!

Ζήλεια είναι οι ευχάριστες στιγμές που νόμιζες ότι ... είχαν!

Τελικά, εμπειρία είναι αυτό που παραμένει, αφότου έχεις ξεχάσει τ' όνομά της.

Ένας φίλος πούλαγε έπιπλα για να ζει. Το πρόβλημα είναι ότι τα έπιπλα ήταν δικά του.

Έτσι όπως έχουν αυξηθεί οι φόροι, καλύτερα να παντρευόμαστε από έρωτα :)

Τα περίφημα Lips του Master της Ζωγραφικής Τέχνης Harry Holland. O Holland γεννήθηκε στη Γλασκώβη το 1941 και θεωρείται ευρέως ως ο κορυφαίος Βρετανός, ως προς την τεχνική αρτιότητα των θαυμάσιων έργων του.

ΥΓ. Αν θέλετε, κλικάρετε τις 2 εικόνες και τα 9 link στο κείμενο


 :) 

 

Φρέσκα κουλούρια!

To φαγωμένο κουλούρι πάντα ξεχνιέται, έτσι δεν είναι?

Εκπληκτικό ελληνόφωνο τραγούδι αφροκουβανέζικου στυλ, από ένα... Βελγικό συγκρότημα του τέλους της 10ετίας του 1950, που από μόνο του αξίζει μία ανάρτηση ...

:)

Όνειρο...

 

 Waldemar Kazak (γεν. 1973, Ρώσος) - Moναξιά

Πρόσφατα είδα ένα παράξενο όνειρο.

Βρισκόμουν στον έβδομο ουρανό, μπροστά σε  όλες ανεξαιρέτως τις θεότητες που έχουμε λατρέψει ως ανθρώπινο είδος στη διάρκεια των τελευταίων ~100.000 χρόνων της παρουσίας μας στο διαστημόπλοιο Γη.

Οι εν λόγω θεϊκές οντότητες έκαναν ειδική εξαίρεση παραχωρώντας μου το προνόμιο να εκπληρώσουν μία επιθυμία μου.

Συγκεκριμένα, ο Ερμής μου είπε:

"Τι θέλεις? Αιώνια νεότητα, ομορφιά, μακροζωία, τύχη, την ομορφότερη γυναίκα, την επίλυση της Yπόθεσης του Riemann, τον χρυσό που αντιστοιχεί στα ψευτοομόλογα του Σώρρα ή κάτι άλλο? Ζήτα μας οτιδήποτε, αλλά διάλεξε μόνο ένα πράγμα!"

Για κάμποση ώρα σάστισα και δεν μπόρεσα να βγάλω λέξη από το στόμα μου. Όμως, ξαφνικά έστρεψα το βλέμμα μου στον θεό των τριών Αβρααμικών θρησκειών και απευθύνθηκα σ' αυτόν και στους "συναδέλφους" του ως εξής:

"Αξιότιμοι αριστοκράτες, διαλέγω μόνο ένα πράγμα: Να έχω πάντα το γέλιο με το μέρος μου!"

Κανένας από τους θεούς δεν απάντησε, αλλά -απρόσμενα για μένα- όλοι άρχισαν να γελάνε!

Από αυτή τους την αντίδραση συμπέρανα ότι όχι μόνο εκπλήρωσαν την επιθυμία μου, αλλά και ότι ήξεραν να εκφραστούν με γούστο, κι' αυτό γιατί θα ήταν ανακόλουθο εκ μέρους τους να μου απαντούσαν με σοβαρό ύφος: "Σου παραχωρούμε την επιθυμία σου!"

 H εκπληκτική Πηνελόπη του  David Ligare !

ΥΓ1. Μου αρκεί  μία  ματιά στην εκθαμβωτική κλασσική ομορφιά της, για να αψηφήσω την αφύσικη πουριτανική μιζέρια του Χριστιανισμού,  τον οποίο ο  Nietzsche εύστοχα χαρακτήρισε σαν:

 "Βάρβαρο, ασιατικό, χυδαίο, μη ελληνικό" !


ΥΓ2. Κάτι "κρύβουν" οι 2 εικόνες, αλλά και τα 7 link της ανάρτησης...


:)

Διέλυσαν το επάγγελμα του Μηχανικού!

Χυμώδης κυρία (φωτο): "Ας πάρουμε την επόμενη δόση κι έχει ο Θεός! Τι λέτε παιδιά ?" 
(Daytona Beach, 1982, μέσα από το φακό του Paul McDonough)
 
Η παρακάτω είδηση δεν έχει καμμία πολιτική σκοπιμότητα για εμένα. Ο λόγος που την παραθέτω, δεν είναι μόνο ότι ... απεχθάνομαι τους πολιτικούς, αλλά  ότι ως Διπλωματούχος Μηχανικός αδυνατώ να υποταχθώ στην αναισθησία και τον παραλογισμό.

Τον κίνδυνο της κατάσχεσης της περιουσίας τους αντιμετωπίζουν 50.000 Μηχανικοί σύμφωνα με στοιχεία του Τεχνικού Επιμελητηρίου Ελλάδος, επειδή αδυνατούν πλέον «να καταβάλουν τις παράλογα αυξημένες ασφαλιστικές εισφορές του ΕΤΑΑ - ΤΣΜΕΔΕ».

Οι προαναφερθέντες Διπλωματούχοι Μηχανικοί – μεταξύ των οποίων και πολλοί με ανίατες ασθένειες – στερούνται ακόμη και την στοιχειώδη ιατροφαρμακευτική περίθαλψη, κι' ας έχουν αντικειμενική αδυναμία να καταβάλουν τις ασφαλιστικές εισφορές τους!

Oι "θεοσεβούμενοι" ... ακροδεξιοσοσιαληστοκοτζαμπάσηδες, που έφεραν την χώρα σ' αυτή την άθλια κατάσταση, μεταξύ άλλων, ΔΙΕΛΥΣΑΝ ακόμη και το επάγγελμα του Μηχανικού !!!

Λυπάμαι που τόσοι συνάδελφοί μου βρίσκονται σε δυσχερέστατη θέση και "συν + πάσχω" μαζί τους, όπως άλλωστε ΚΑΙ με την συντριπτική πλειοψηφία των συμπατριωτών μας.

Το ελάχιστο που μπορώ πλέον να κάνω είναι, όταν μιλάω με νεοδημοκράτες ή πασόκους – συναδέλφους μου και μη! – να τους απευθύνω το εξής ερώτημα, που ίσως συνεφέρει μερικούς απ' αυτούς:

Τι άλλο περιμένεις να σου κάνει ο συρφετός των αναίσθητων Σαμαροβενιζέλων, ώστε να σταματήσεις να τους... στηρίζεις?

Α στα διάλα πιά !

ΥΓ. Κλικάρετε αδίστακτα τις 2 εικόνες και τα 16 link του κειμένου !

:)

Αρκετές ευκαιρίες και πιθανότητες

 

Αν δοθούν αρκετές ευκαιρίες, η εμφάνιση ενός απίθανου γεγονότος είναι πολύ πιθανή, όσο απίθανο κι' αν είναι αυτό το γεγονός αν εξεταστεί αυτοτελώς. 'Ετσι λοιπόν, συνήθως νομίζουμε ότι κάποιο γεγονός είναι εξαιρετικά απίθανο, ενώ στην πραγματικότητα είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα συμβεί! Και φυσικά δεν πρόκειται ούτε για αντίφαση, αλλά ούτε για ... θαύμα!

Η συντριπτική πλειοψηφία των ανθρώπων δεν αντιλαμβάνονται την συνοδευτική ύπαρξη ενός τεράστιου αριθμού ευκαιριών, που ευνοούν την ανάδυση του ... απίθανου! Ευτυχώς όμως, που η Συνδυαστική Ανάλυση ανοίγει τα μάτια σε λίγους και έτσι ΔΕΝ ΥΠΟΤΙΜΟΥΜΕ την συχνότητα εμφάνισης των απίθανων γεγονότων, διότι ο αριθμός των συνδυασμών μεταξύ αλληλεπιδρώντων στοιχείων αυξάνεται εκθετικά με τον αριθμό των στοιχείων. Το πασίγνωστο Πρόβλημα των Γενεθλίων θα μας βοηθήσει να ψηλαφήσουμε την παραπάνω θέση.

Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα δύο τυχαίων ανθρώπων σε μία αίθουσα να γεννήθηκαν την ίδια μέρα. Για να θέσω την ερώτηση διαφορετικά - τουλάχιστον πόσοι άνθρωποι θα πρέπει να βρίσκονται σε μία αίθουσα, ώστε να είναι πιό πιθανό 2 από αυτούς να έχουν τα ίδια γενέθλια? 

Προκαταβολικά σας λέω ότι η απάντηση είναι 23. Δηλαδή, αν υπάρχουν ΜΟΛΙΣ 23 άνθρωποι σε μία αίθουσα, είναι ΠΙΟ ΠΙΘΑΝΟ δύο από αυτούς να έχουν τα ίδια γενέθλια (δηλ. είναι λιγότερο πιθανό το να μην "μοιράζεται" κανένας από τους 23 κοινά γενέθλια με τους υπόλοιπους 22!)

Η απάντηση 23 προκύπτει ως εξής. Για δύο τυχαίους ανθρώπους μέσα στην αίθουσα, η πιθανότητα ο δεύτερος να μην έχει τα ίδια γενέθλια με τον πρώτο είναι 364/365. Στη συνέχεια, η πιθανότητα ενός τρίτου να μην μοιράζεται τα ίδια γενέθλια με κανέναν από το πρώτο τυχαίο ζευγάρι, είναι 364/365 × 363/365. Παρομοίως, η πιθανότητα αυτού του τυχαίου τρίο να μην έχει τα ίδια γενέθλια με έναν τέταρτο που βρίσκεται στην αίθουσα, είναι 364/365 × 363/365 × 362/365. Συνεχίζοντας με αυτό τον τρόπο βρίσκουμε ότι η πιθανότητα 23 ανθρώπων να ΜΗΝ έχουν τα ίδια γενέθλια είναι 364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365 … × 343/365. Αν κάνετε τις πράξεις θα βρείτε 0,49. Αφού η πιθανότητα ΚΑΝΕΝΑΣ από τους 23 ανθρώπους στην αίθουσα να μην έχει τα ίδια γενέθλια με τους υπόλοιπους είναι 0,49 (δηλαδή 49%), τότε η πιθανότητα μερικοί από αυτούς να έχουν τα ίδια γενέθλια είναι 1 − 0,49 = 0,51 (δηλαδή 100% - 49% = 51%) που είναι περισσότερο από το μισό και άρα ΠΙΟ ΠΙΘΑΝΟ ! 

ΥΓ1. Με παρόμοιο υπολογισμό βρίσκουμε ότι η πιθανότητα 99% για ίδια γενέθλια, επιτυγχάνεται ΜΟΛΙΣ με 57 ανθρώπους! 

ΥΓ2. Με παρόμοια μέθοδο - όπως στο Πρόβλημα των Γενεθλίων - βρίσκουμε ότι η  υπέρβαση της πιθανότητας 50% για την εμφάνιση 2 φορές της ίδιας εξάδας αριθμών στο LOTTO, επιτυγχάνεται σε 4.404 κληρώσεις (ευκαιρίες!) Συγκεκριμένα, με 2 κληρώσεις την εβδομάδα απαιτούνται λιγότερο από 43 χρόνια για να κληρωθεί ξανά η ίδια εξάδα με περισότερες πιθανότητες από τις μισές. Αν μάλιστα λάβουμε υπόψη ΟΛΕΣ τις κληρώσεις στον κόσμο, το απίθανο θα ήταν να μην συμβαίνουν τέτοιες επαναλήψεις, όπως πχ στο Βουλγαρικό LOTTO, όταν στα 52 χρόνια της ιστορίας του, σημειώθηκε επανάληψη των αριθμών 4, 15, 23, 24, 35 και 42 και μάλιστα σε δύο συνεχόμενες κληρώσεις, στις 6 και 10 Σεπτεμβρίου 2009!

ΥΓ3. Κλικάρετε αδίστακτα τους 5 συνδέσμους (link) του κειμένου !

:)

Interaction with a partner?

Oι διαλέξεις του Lenny Susskind (για μύστες και μη) είναι ένας μοναδικός συνδυασμός χιούμορ και βαθιάς γνώσης!

Τo τελευταίο link "κρύβει" τον γνωστό περιπαικτικό αφορισμό του νομπελίστα Φυσικής Richard (Dick) Feynman, όπως αναμεταδίδεται από τον  καθηγητή Susskind σε video από διάλεξή του στο Stanford:

Η διαφορά μεταξύ Mαθηματικών και Φυσικών

Η αιτιολόγηση είναι απολαυστική...

Ολοκληρώνω την ανάρτηση με μία λιγότερο διάσημη ρήση του Feynman:

Physics isn't the most important thing. Love is!

:)

I ain't lying ...

H μαγεία μετατρέπεται σε Τέχνη όταν δεν έχει να κρύψει τίποτε.

Κλασσικό παράδειγμα οι γάτες, που είναι σκέτη μαγεία. Όσο τις χαϊδεύεις, τόσο περισσότερο "ζείτε" και οι δύο!

ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ !

YΓ. Αναζητείστε την "μαγεία" μόνο εκεί που συνήθως βρίσκεται ... δηλαδή στις κλεμμένες στιγμές !

:)

Αυτόματος διερμηνευτής

Adam Styka (1890 – 1959, Polish) - A scene in Marrakesh,  in the Moroccan Sun

To μυαλό μας, ευτυχώς, έχει έναν αυτόματο διερμηνευτή - με την δύναμη να "μιλάει" μία σπουδαία γλώσσα ...

Φυσικά αναφέρομαι στα μάτια μας, που μεταδίδουν τα πιό "εσωτερικά" μηνύματα και μας συνδέουν με άλλους όταν οι λέξεις παύουν να υπάρχουν ...

One day in the park
I had quite a surprise.
I met a girl
who had many eyes.

She was really quite pretty
(and also quite shocking!)
and I noticed she had a mouth,
so we ended up talking.

We talked about flowers,
and her poetry classes,
and the problems she'd have
if she ever wore glasses.
(Aπόσπασμα από το “The Girl With Many Eyes” του Tim Burton)

Adam Styka (1890 – 1959, Polish) - A  donkey watering in the desert

YΓ. Μη διστάσετε να κλικάρετε τις 2 εικόνες και τα 2 link !

 :)

Παίγνια μυαλού (revisited)

Ed Hopper, New York office, 1962

Η ζωή είναι πολύ πιό διασκεδαστική όταν "παίζουμε".  Πάντως, το σίγουρο είναι ότι δεν σταματάμε τα  "παίγνια" επειδή  γερνάμε, αλλά ότι "γερνάμε" επειδή σταματάμε να παίζουμε !

Είναι  ενδιαφέρουσα η εμπλοκή σε "παιχνίδια",  ακόμη και όταν δεν έχουμε ιδέα  για τους κανόνες τους, αρκεί να έχουμε στο νου μας  ότι ΜΟΝΟ ο ΔΡΟΜΟΣ προς τη νίκη ή την ήττα έχει ουσιαστική σημασία - και όχι η νίκη ... αυτή καθαυτή !

Αν μη τι άλλο, ο εγκέφαλός μας είναι ένα εκπαιδευτικό παιχνίδι.

Το πρόβλημα της κατοχής ενός τέτοιου συναρπαστικού "οργάνου" είναι ότι κι' άλλοι θέλουν να παίζουν ...  μ΄ αυτό !   Τις περισσότερες φορές προτιμούν να παίζουν με τον δικό σου εγκέφαλο παρά με τον δικό τους. Ακόμα χειρότερα, αντιτίθενται όταν παίζεις με τον "δικό" σου, αλλά με διαφορετικό τρόπο απ΄ότι εκείνοι !

Το αποτέλεσμα είναι λιγότερα παιχνίδια στο ... κατάστημα παιχνιδιών, καθώς και περιορισμένα ενδεχόμενα, αφού συνήθως οι πιθανότητες υλοποιούνται κυκλικά, ατέλειωτα και βαρετά.

Όταν δεν παίζεις το παιχνίδι των πολλών σου λένε ότι τα έχεις "παίξει" και δυστυχώς είναι ανίκανοι να κατανοήσουν ότι  μπορείς  να παίζεις με το μυαλό σου ότι θες,  από σκάκι μέχρι Ρώσικη ρουλέτα ή ακόμη και ... strip poker.

'Ομως αν είσαι έξυπνος τους αγνοείς και συνεχίζεις να παίζεις τις δικές σου μελωδίες στο σαξόφωνο του μυαλού σου...

Ed Hopper, Office at night , 1940

ΥΓ. Κλικάρετε αδίστακτα τις δύο (2) εικόνες και τα εννέα (9) link !

:)

Δύο διαφορετικές ... σχισμές !

Αν μπορείτε να εξηγήσετε το παρακάτω φαινόμενο με την κοινή λογική, πείτε το και σε μένα. Σ΄ αυτή τη περίπτωση σας περιμένει ένα βραβείο Nobel Φυσικής!

To 1954, ο  Hugh Everett III,  ένας νεαρός  υποψήφιος διδάκτορας στο Princeton  επινόησε μία ριζοσπαστική ιδέα: Την ερμηνεία των πολλών κόσμων  - δηλαδή ότι υπάρχουν παράλληλα σύμπαντα, σχεδόν ίδια με το δικό μας!

Τα παράλληλα σύμπαντα σχετίζονται μέσω διακλαδώσεων. Το δικό μας σύμπαν προέρχεται από διακλαδώσεις άλλων συμπάντων, ενώ καταλήγει σε άλλες διακλαδώσεις, που αντιστοιχούν σε διαφορετικές πιθανότητες ενός απίστευτου αριθμού ενδεχόμενων χωροχρονικών συμβάντων.

Σ΄αυτά τα παράλληλα σύμπαντα υπάρχουν και πόλεμοι με διαφορετική κατάληξη απ' αυτή που γνωρίζουμε. Είδη που έχουν αφανιστεί στο δικό μας σύμπαν, έχουν προσαρμοσθεί και εξελιχθεί σε άλλα. Σε διαφορετικά σύμπαντα οι άνθρωποι είτε δεν υπάρχουν καθόλου ή έχουν αφανιστεί μέσω της φυσικής επιλογής. Οι προαναφερθείσες απεριόριστες διακλαδώσεις μπορεί να καταλήξουν ακόμη και σε σύμπαντα που διαφέρουν μόνο ως προς την θέση ενός ηλεκτρονίου σε σχέση με το δικό μας σύμπαν.

Ανέκαθεν με γοήτευε η ερμηνεία των πολλών κόσμων του Hugh Everett, έστω κι΄αν αυτή οδηγεί σ' ένα .. "σπάταλο" πολυσύμπαν! Το εκπληκτικό είναι ότι αυτή η ερμηνεία εξηγεί  (πάντως όχι με την κοινή λογική!) το μαγευτικό πείραμα των 2 σχισμών.

To επόμενο video είναι ένα μικρό απόσπασμα από το πολυβραβευμένο τηλεοπτικό ντοκουμέντο Παράλληλοι Κόσμοι, Παράλληλες Ζωές, στο οποίο ο Αμερικανός μουσικός της rock Mark Oliver Everett συζητάει με φυσικούς και πρώην συνεργάτες του διάσημου πατέρα του, Hugh Everett III, για την κβαντομηχανική του ερμηνεία των πολλών κόσμων.

Απέραντη Ομορφιά

Στην  Απολογία ενός Μαθηματικού ο περίφημος G.H. Hardy μεταξύ άλλων παραθέτει δύο υπέροχα θεωρήματα των αρχαίων Ελλήνων, που η ομορφιά τους δεν έχει ρυτιδωθεί από το πέρασμα δύο χιλιετηρίδων και σαφώς παραμένει αναλλοίωτη.

Τα θεωρήματα αυτά είναι τόσο απλά σε σύλληψη, κεντρική ιδέα και απόδειξη, ώστε να μπορεί να τα κατανοήσει ο οποιοσδήποτε ευφυής αναγνώστης, όσο ισχνός κι' αν είναι ο μαθηματικός του ... εξοπλισμός (βλ. σελ. 18 - 21 του κειμένου, ή 22 - 25 του pdf, στο 1ο link!)

Στην πρoτελευταία παράγραφο της σελίδας 21 (ή της σελ. 25 του pdf) o Hardy αναφέρει ότι τα θεωρήματα αυτά είναι "δείκτες" (test cases) - καθώς ένας αναγνώστης που ΔΕΝ μπορεί να τα εκτιμήσει, είναι απίθανο να εκτιμήσει οτιδήποτε στα Μαθηματικά!

Yπερθεματίζοντας τα προηγούμενα, παραθέτω τον δικό μου "δείκτη", δανειζόμενος το παρακάτω κομψό video του N J Wildberger:

Έχω τη γνώμη ότι αν κάποιος μέσος αναγνώστης παρακολουθήσει αυτό το video ΧΩΡΙΣ πάραυτα να συνειδητοποιήσει την απέραντη ομορφιά των Μαθηματικών - και ειδικότερα της Τοπολογίας - τότε είναι μάλλον απίθανο να εκτιμήσει ποτέ την κορυφαία Αισθητική αυτής της υπέρτατης Τέχνης, την οποία ο Bertrand Russell συνόψισε ως εξής: 

Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty — a beauty cold and austere, like that of sculpure without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as poetry.

ΥΓ1. Κλικάρετε χωρίς δισταγμό εικόνες και συνδέσμους στο κείμενο

ΥΓ2. Οι όμορφες αποδείξεις των 2 προαναφερθέντων θεωρημάτων παρατίθενται και στους παρακάτω συνδέσμους:

Α. Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητη - Απόδειξη του Ίππασου

Β. Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι  - Aπόδειξη του Ευκλείδη


:)

Lipstick on your collar

Κατά τη γνώμη μου, η πιό ονειρική δημιουργία του Dennis Potter είναι το περίφημο Lipstick on Your Collar, σε σειρά 6 επεισοδίων.

Oι σουρεαλιστικές σκηνές σε ένα "αυστηρό" Γραφείο Αγγλικής Αντικατασκοπείας την περίοδο της κρίσης του Σουέζ (1956) είναι ανεπανάληπτες.

Το κεντρικό θέμα αφορά μία μικρή ομάδα στρατιωτικών αναλυτών διεθνών υποθέσεων, των οποίων η καθημερινότητα ανατρέπεται από την προαναφερθείσα κρίση. 

Ο Mick Hopper (Ewan McGregor) ολοκληρώνει την στρατιωτική του θητεία, σαν μεταφραστής απόρρητων Σοβιετικών εγγράφων και βρίσκεται εγκλωβισμένος. Bαριέται την δουλειά του και αντιδρά με σουρεαλιστικές φαντασιώσεις pop τραγουδιών της εποχής στις οποίες πρωταγωνιστεί ο ίδιος, αλλά και οι συνάδελφοί του !

Κλικάρετε την παρακάτω εικόνα και απολαύστε τα 6 επεισόδια:

YΓ1. What a wonderful  Parting Shot  from Dennis !

YΓ2. Κλικάρετε αδίστακτα τις δύο εικόνες και τα 10 link

:)

Live now, die later !

Fidel Molina (1971, Spanish) - Capitulo seis

Οι περισσότεροι άνθρωποι ΔΕΝ "ζουν" τη ζωή τους !

Γι' αυτό, άλλαξε τη ζωή σου ΣΗΜΕΡΑ !

Μη ποντάρεις στο μέλλον, ΔΡΑΣΕ ΤΩΡΑ, χωρίς καθυστέρηση !

Mary Jane Ansell (1972, English) - Sunday Morning 10 a.m.

ΥΓ.  Οι ... εύτολμοι ας κλικάρουν τους 2 πίνακες και τα 2 link

 :)

Μιλώντας στις σκιές (1 με 4 πμ)

H. Momo Zhou (1981, Chinese) - Αυτοπορτραίτο με τον ... Δράκο της ! 

Ο καφές μου γίνεται καλύτερος όσο πίνω και πλησιάζω στον πάτο της κούπας, όπου έχει κατακαθίσει η περισσότερη ζάχαρη.

Επειδή η ζωή πιθανότατα δεν συμπεριφέρεται με παρόμοιο τρόπο όσο πλησιάζουμε προς το τέλος της, ίσως είναι θεμιτό ν' αναρωτηθούμε κάποια στιγμή, όπως ο Albert Camus :

“Should I kill myself, or have a cup of coffee?”

ΥΓ. Ουδόλως βλάπτει ένα κλικ στον πίνακα της Η. Μomo Zhou, αλλά και στους δύο (2) συνδέσμους (links) του κειμένου της ανάρτησης.

:)

Μαγικό ...

Υπάρχει χρόνος για να φύγεις, ακόμη κι' όταν δεν έχεις που να πας !

Όσο αφορά το παρακάτω ονειρικό μουσικό κομμάτι, κάποτε γνώριζα μία μοναδική γυναίκα που το τραγουδούσε στον άντρα της. Η δε κόρη της ακόμη συν + κινείται όταν το "ακούει":

“It is a long way off, sir"
"From what Jane?"
"From England and from Thornfield and  ..."
"Well?" 
"From you, sir”

(Charlotte Brontë, Jane Eyre)

ΥΓ. Κλικάρετε οπωσδήποτε τον πίνακα της Η. Μοmο Zhou

:)

Στροφορμή που κυνηγά ροπή!

Από μικρή ηλικία ήμουν καταγοητευμένος με τις εκπληκτικές ιδιότητες των γυροσκοπίων. Ομολογώ ότι ακόμη και τώρα με συναρπάζουν, παρά το ότι τα απομυθοποίησα στα 19 μου χρόνια. Η κατανόηση της λειτουργίας τους όχι μόνο ΔΕΝ αφαιρεί τίποτε από την ομορφιά τους, αλλά αντίθετα ... προσθέτει στη μαγεία τους !

Τα δύο θεαματικά videο που παρουσιάζω, αναδεικνύουν ορισμένες μη διαισθητικές συνέπειες της στροφορμής.

Ευτυχώς, η μη διαισθητική πλευρά των γυροσκοπίων εξηγείται απλά με την βοήθεια των διανυσμάτων. Όσοι δεν είναι .. επιρρεπείς σε Μαθηματικά και Φυσική, ας αγνοήσουν ότι ακολουθεί, κι΄ ας επικεντρωθούν ΜΟΝΟ στην ομορφιά, που πάντα είναι το ζητούμενο!

Η στροφορμή L είναι διάνυσμα και συνεπώς έχει διεύθυνση και μέγεθος. Το ίδιο ισχύει και για την γωνιακή ταχύτητα ω. Το προηγούμενο σχήμα δείχνει τον κανόνα του δεξιού χεριού, που καθορίζει ότι τα διανύσματα L και ω είναι κάθετα στο επίπεδο περιστροφής. Επειδή η στροφορμή σχετίζεται με την  γωνιακή ταχύτητα μέσω της σχέσης L = I ω (όπου Ι είναι μία σταθερά, η ροπή αδρανείας) είναι προφανές ότι L και ω έχουν την ίδια κατεύθυνση. Παρατηρείστε ότι και τα δύο διανύσματα "δείχνουν" κατά μήκος του άξονα περιστροφής.

Είναι γνωστό ότι η μεταβολή της στροφορμής ΔL συνδέεται με την ροπή τ ως εξής: ΔL =  τ Δt. 

H τελευταία εξίσωση σημαίνει ότι η μεταβολή της στροφορμής ΔL έχει την ίδια κατεύθυνση με την ροπή τ, η οποία δημιουργεί την ΔL (μου αρέσει να θεωρώ ότι το διάνυσμα ΔL είναι μία πολλαπλάσια εκδοχή του διανύσματος  τ κατά Δt φορές!)   

Έστω ότι ένας τροχός ποδηλάτου με 2 χειρολαβές περιστρέφεται έτσι ώστε η στροφορμή του να "δείχνει" προς τα αριστερά της γυναίκας. Ας υποθέσουμε ότι η γυναίκα προσπαθεί να γυρίσει τον τροχό με τα χέρια της, ασκώντας το ζεύγος δυνάμεων F, όπως φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα. Η φυσιολογική προσδοκία είναι ότι ο τροχός θα περιστραφεί προς την κατεύθυνση που τον σπρώχνει, όμως αυτό που τελικά συμβαίνει είναι εντελώς διαφορετικό!

Αυτό που συμβαίνει είναι το εξής.Το ζεύγος δυνάμεων F δημιουργεί μία ροπή τ με κατεύθυνση προς την γυναίκα. Αυτή η ροπή τ δημιουργεί μία μεταβολή στη στροφορμή, ΔL,  σην ίδια κατεύθυνση και κάθετα προς την αρχική στροφορμή L, αλλάζοντας έτσι την κατεύθυνση της L, αλλά όχι το μέγεθoς του νέου διανύσματος L + ΔL.

Στο σχήμα φαίνεται η διανυσματική πρόσθεση των L και ΔL, που δίνουν την καινούργια στροφορμή, L + ΔL, με κατεύθυνση που τείνει περισσότερο προς τη γυναίκα απ' ότι προηγουμένως. Συνεπώς ο άξονας του τροχού κινείται κάθετα προς τις ασκούμενες δυνάμεις F, με γωνιακή ταχύτητα μετάπτωσης ω_p, αντί να περιστραφεί προς την αναμενόμενη κατεύθυνση, που προσπαθεί να τον περιστρέψει η .. δόλια γυναίκα !

Η ίδια ακριβώς λογική εξηγεί την συμπεριφορά των κλασσικών γυροσκοπίων. Στο προηγούμενο σχήμα φαίνονται οι δύο δυνάμεις w, που επενεργούν σε ένα περιστρεφόμενο γυροσκόπιο. Η ροπή τ που δημιουργούν, είναι κάθετη στη στροφορμή L, και συνεπώς η κατεύθυνσή της αλλάζει, αλλά όχι το μέγεθος. Το γυροσκόπιο υφίσταται μετάπτωση ω_p γύρω από τον κάθετο κεντρικό άξονα, αφού η ροπή τ είναι πάντα οριζόντια και κάθετη στο L. 

Ο πλανήτης μας δρα ως ένα γιγαντιαίο γυροσκόπιο. Το διάνυσμα της στροφορμής είναι κατά μήκος του γήϊνου άξονα, και προς το παρόν "δείχνει" προς τον πολικό αστέρα. Όμως η γη υφίσταται μία πολύ αργή μετάπτωση, η οποία έχει περίοδο περίπου 26 000 χρόνια, λόγω της συνδυασμένης ροπής που ασκούν Ήλιος και Σελήνη στο μη σφαιρικό σχήμα της.