Γελάς ..

Απ' το σωρό των αστεριών
θα πάρω έν' άστρο εγώ χλωμό
να στο κρεμάσω στο λαιμό
για να 'χεις μενταγιόν.

Γελάς και τ' άστρα, θαρρείς
πως βγαίνουν νωρίς για να σε δούν,
μιλάς και στη σιγαλιά
νομίζεις πουλιά πως κελαηδούν.

Κι εσύ, πού 'χει ο ήλιος φωλιά χρυσή
φωλιά στα σγουρά σου μαλλιά
κι εγώ που τόσον καιρό
ζητούσα να βρω σαν θησαυρό.

Όταν ήμουν μαθητής στο δημοτικό, γνώρισα τον Κώστα Καπνίση στην Κέα, τον τόπο καταγωγής της μητέρας μου. Ήταν οικογενειακός φίλος και συναντιόμασταν σχεδόν κάθε καλοκαίρι στην Κορησσία (Λιβάδι) της Τζιάς. Του άρεσε πάρα πολύ το ψάρεμα .. είχαμε μάλιστα ψαρέψει μερικές φορές μαζί, μέχρις ότου τελικά συνειδητοποίησα ότι δεν είχα κανένα ταλέντο σ' αυτό το hobby, αφού -σχεδόν πάντα- πέταγα αμέσως στη θάλασσα τα λίγα ψάρια που έπιανα, επειδή δεν μου άρεσε να τα βλέπω να σπαρταράνε! Κάποτε τον ρώτησα .. "Ποιό είναι το μεγαλύτερο ψάρι που έχετε πιάσει?" και μου απάντησε αδίστακτα: "Η γυναίκα μου!"

Ήταν πολύ ευγενικός, αφάνταστα πράος, σεμνός και συναισθηματικός. Το μουσικό ταλέντο αυτού του πρωτοπόρου της ελληνικής jazz  ήταν ανυπέρβλητο και ξεχείλιζε παντού. Θυμάμαι μιά φορά που -ενώ καθόμασταν σε ένα παραλιακό ζαχαροπλαστείο στο Λιβάδι- για αρκετή ώρα "έπαιζε" με τις μουσικές νότες που ανέκυπταν "χτυπώντας" γυάλινα ποτήρια με διαφορετικές στάθμες νερού, δημιουργώντας έτσι ένα απίστευτα όμορφο και συναρπαστικό ακουστικό αποτέλεσμα.

Ήμουν φίλος με τα δύο παιδιά του, την Τζίνι (Joanna) και τον Νικόλα. Είχαμε χαθεί για πολλά χρόνια, μέχρι που κάποτε επικοινώνησα με την Joanna - μιά περίοδο που ήμουν για λίγο καιρό στο Facebook - και δυστυχώς τότε πληροφορήθηκα ότι ο υπέροχος πατέρας της είχε αποβιώσει το 2007.

Ο Καπνίσης θα "ζεί", όσο υπάρχουν άνθρωποι που τους "συν + κινεί" η ονειρική μουσική του. Είμαι ένας απ΄ αυτούς. Γι' αυτό ίσως τον "βλέπω" να μου χαμογελάει κάθε φορά που ακούω τις μαγικές του μελωδίες ..

ΥΓ. Για κάτι περισσότερο .. οπωσδήποτε κλικ στις 2 εικόνες

:)

Θεώρημα Goodstein ή άθλος ?

Όσοι-ες δεν έχετε "έκνομη" ή έστω "ρομαντική" σχέση με τα Μαθηματικά .. μην αποθαρρυνθείτε. Η ουσία της παρούσας ανάρτησης δεν βρίσκεται στις μαθηματικές λεπτομέρειες !

Ξεκινάμε με κάποιο τυχαίο αριθμό n, ας πούμε το  .. 42. Μπορούμε να γράψουμε τo 42 με βάση τον αριθμό 2, ως εξής: 42 = 2⁵ + 2³ + 2.  Αν γράψουμε και τους εκθέτες με βάση το 2,  τότε έχουμε:  a₂ =  42 = 2²²⁺¹ + 2^{2 +1} +2. Ο τρόπος αυτός ονομάζεται  ανάπτυγμα του αριθμού σε υπέρβαση 2. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι γράφουμε το 42 με δυάρια καί άσσους.

Τώρα, αν αντικαταστήσουμε το κάθε 2 με το 3, θα δημιουργηθεί ο αριθμός 3³³⁺¹ + 3³⁺¹ + 3, που προφανώς είναι  πολύ μεγαλύτερος του 42. Αφαιρώντας το 1 ορίζουμε έναν άλλο αριθμό, τον  a₃.

Στη συνέχεια, αφού πρώτα γράψουμε τον αριθμό a₃ αναπτύσοντάς τον σε υπέρβαση 3, αντικαθιστούμε το κάθε 3 με 4 και αφαιρούμε πάλι το 1 από την τελική απάντηση. Αυτός ο αριθμός είναι ο a₄. Με αυτό τον απλό τρόπο κατασκευάζουμε μιά σειρά αριθμών a₂, a_3, a_4, a₅ ... κλπ - την περίφημη ακολουθία Goodstein, που σ' αυτή τη περίπτωση ξεκίνησε με τον αριθμό 42.

Διαισθητικά οι περισσότεροι άνθρωποι  συμπεραίνουν ότι οι αριθμοί (όροι) αυτής της ακολουθίας αυξάνονται εκρηκτικά και χωρίς σταματημό !

Η τρομακτική αύξηση της τάξης μεγέθους  των πέντε πρώτων όρων της ακολουθίας Goodstein - για έναν άλλο αρχικό αριθμό (πχ το 26) - φαίνεται στο επόμενο ενδεικτικό παράδειγμα:

a₂ = 2²² + 2²⁺¹ +  2 = 26

a₃ = (3³³ + 3³⁺¹ + 3) - 1 = 3³³ + 3³⁺¹ + 2 ~ 10¹³

a₄ = (4⁴⁴ + 4⁴⁺¹ + 2) - 1 = 4⁴⁴ + 4⁴⁺¹ + 1 ~ 10¹⁵⁴

a₅ = (5⁵⁵ + 5⁵⁺¹ + 1) - 1 = 5⁵⁵ + 5⁵⁺¹ ~ 10²¹⁸⁴

a₆ = (6⁶⁶ + 6⁶⁺¹) - 1 = 6⁶⁶ + 6⁶⁺¹ - 1 ~ 10³⁶³⁰⁵

Όμως, ρίξτε μιά ματιά στο παρακάτω θεώρημα:

Θεώρημα Goodstein: Για οποιοδήποτε αρχικό αριθμό n, η σειρά Goodstein ξεκινά με το n και τερματίζει στο 0 (μηδέν!) μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων !

Το .. σοκ δεν σταματάει εδώ!  Το 1982 οι Kirby και Paris απέδειξαν ότι το εν λόγω θεώρημα ΔΕΝ  αποδεικνύεται με πρωτοβάθμια αριθμητική, επειδή δεν μπορούμε να περιγράψουμε με αυστηρότητα την εξέλιξη της εκθετικής δομής των όρων μιας ακολουθίας Goodstein στο πλαίσιο της αριθμητικής Peano. To θεώρημα αποδεικνύεται με την επέκταση της περιγραφικής διαδικασίας στη δευτεροβάθμια αριθμητική των διατακτικών (Ο μαθηματικός ξέρει για τι μιλάει - απόδειξη σελ. 28 !)

Επιπλέον οι Kirby και Paris επινόησαν το παχνίδι της Λερναίας Ύδρας. Αντί για το μυθικό όν του Ηρακλή η δική τους Ύδρα είναι ένα δένδρο. Ο κάθε επίδοξος Ηρακλής αποκόπτει κάποια απ' τις  "κεφαλές", δηλαδή ένα κλάδο του δένδρου.  Η Ύδρα απαντά με το "φύτρωμα" πεπερασμένου αριθμού κεφαλών, σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Με την ίδια λογική (σελ. 24) της προαναφερθείσας απόδειξης του θεωρήματος Goodstein, οι Kirby και Paris απέδειξαν ότι τελικά η Ύδρα θα σκοτωνόταν οπωσδήποτε, οποιαδήποτε στρατηγική κι' αν επέλεγε ο Ηρακλής !!!

Υπό το φως του νέου δεδομένου τίθεται το αμείλικτο ερώτημα: Μήπως είναι υπερβολή να μιλάμε για .. άθλο ?

ΥΓ1. Αποκεφαλίστε την δική σας "αφηρημένη" Ύδρα .. εδώ !

ΥΓ2. Για μία κομψή και "εύκολη" απόδειξη από τον John Findlay (1941) του εκπληκτικού Θεωρήματος της "μη πληρότητας" του Kurt Gödel, βλ. σελ. 8 του  προαναφερθέντος συνδέσμου. Είναι διατυπωμένη για την φιλοσοφική εκτίμηση του θέματος και συνεπώς μπορούν να την κατανοήσουν ακόμη και .. φιλόλογοι!

ΥΓ3. Κλικάρετε άνευ .. δισταγμού τα 13 links και τις 2 εικόνες

:)

Μακιαβελικά πρωτεύοντα

Νευρώνες-κάτοπτρα. Μιά υπέροχη εξελικτική συμμετρία που - μεταξύ άλλων - είναι υπεύθυνη για την ανάπτυξη των πολύπλοκων γλωσσικών μας δεξιοτήτων, ενώ ταυτόχρονα διασφαλίζει την είσοδό μας στον διανοητικό κόσμο των άλλων !

Οι περιοχές του εγκεφάλου που βρίσκονται οι νευρώνες-κάτοπτρα μοιάζουν εξελικτικά και τοπολογικά με την περιοχή Broca, που σχετίζεται με την γλώσσα. Όμως τι κάνουν αυτοί οι διαβολεμένοι νευρώνες ? Απλά .. "εκφορτίζονται",  ενισχύοντας έτσι συγκεκριμένα νευρωνικά μονοπάτια που αντιστοιχούν σε συμμετρικές εκδοχές εικονικής πραγματικότητας και αντικαθρεφτίζουν τις ενέργειες άλλων ζώων. Αυτό εξηγεί γιατί τα βρέφη μιμούνται τέλεια και άκοπα τις εκφράσεις του προσώπου και τους περίπλοκους ήχους των γονιών τους, χωρίς να χρειάζονται ώρες εξάσκησης και βαρετών επαναλήψεων. Επιπλέον συνειδητοποιώ ότι δεν είναι λίγες οι φορές που υπομειδιώ νευρικά, όταν συλλαμβάνω τον εαυτό μου ν' αναπαράγει κατοπτρικά, ορισμένες ενέργειες συνομιλητών (όπως .. χασμουρητό, χέρια πίσω από το κεφάλι, χαμόγελο κλπ)

Όμως από την άλλη πλευρά η έλλειψη ενσυναίσθησης σε πολλούς ανθρώπους (περιστασιακή ή ολική) ίσως να οφείλεται στην απουσία εκφόρτισης αυτών των νευρώνων. Σε πολλές περιπτώσεις, οι κοινωνικές ιδιορρυθμίες που ανακύπτουν είναι .. ανεκτές, ιδιαίτερα όταν επικαλύπτονται από επιτεύγματα σε περιβάλλοντα συγκεκριμένων τομέων Επιστήμων και Τεχνών (Μαθηματικών, Μουσικής, Ζωγραφικής, Σωματιδιακής Φυσικής κλπ)

Οι κατοπτρικοί νευρώνες πιθανότατα σχετίζονται με τον αυτισμό, που φυσικά δεν έχει καμμία σχέση με κάποια δοκιμασία στην οποία υποβάλλει τους ανθρώπους κάποιο ακαθόριστο και ιδιόρρυθμο θεϊκό  όν - όπως αφελώς ισχυρίζονται ουκ ολίγοι ένθερμοι απολογητές της συγκεκριμένης θολής  .. υπερκόσμιας οντότητας ! Το δε σύνδρομο Asperger είναι μία λειτουργική μορφή του αυτισμού - που ταυτοποιήθηκε από τον ομώνυμο Βιεννέζο παιδίατρο το 1944 στη διδακτορική του διατριβή - και περιλαμβάνει χαρακτηριστικά όπως μειωμένη ικανότητα κοινωνικής αλληλεπίδρασης, στενά ενδιαφέροντα, επανάληψη τελετουργικών συμπεριφορών, υψηλότατη ροπή για συστηματοποίηση και χαμηλή ενσυναίσθηση.

Μερικές φορές χαμογελώ ενώ αναρωτιέμαι: "Γμτ .. έχω 5 από δαύτα?"

ΥΓ. Κλικάρετε αδίστακτα τα 11 links και τις 2 εικόνες

:)