Άγρια πολυγωνική ομορφιά

  Κατασκευή κανονικού δεκαεπτάγωνου με κανόνα και διαβήτη   

Ορισμένα κανονικά πολύγωνα (πχ τρίγωνο, τετράγωνο, πεντάγωνο και εξάγωνο) κατασκευάζονται πολύ εύκολα με κανόνα (απλό χάρακα χωρίς υποδιαιρέσεις)  και διαβήτη.  Άλλα κανονικά πολύγωνα, όχι! 

Αυτό οδήγησε στο ερώτημα: Είναι δυνατή η κατασκευή ΟΛΩΝ των κανονικών πολυγώνων με μη βαθμονομημένο χάρακα και διαβήτη? 

Το ερώτημα απαντήθηκε 21 αιώνες μετά την πανάρχαια σύλληψή του!

Το 1796 ΚΕ, ο Gauss έδειξε ότι ένα κανονικό 17-πλευρο πολύγωνο μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη, ενώ πέντε χρόνια αργότερα απέδειξε και την ικανή συνθήκη για την κατασκευή κανονικών πολυγώνων "ν-πλευρών" με κανόνα και διαβήτη, τεκμηριώνοντας ότι οι περιττοί πρώτοι παράγοντες του "ν" ΑΡΚΕΙ  να είναι διακεκριμένοι πρώτοι αριθμοί Fermat ! 

Τα αναρίθμητα κατασκευάσιμα πολύγωνα έχουν κατά σειρά τον ακόλουθο ενδεικτικό αριθμό πλευρών: 

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257,  272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285... 65535, 65537... κλπ 

Το θεώρημα των Gauss - Wantzel "οδηγεί" ταυτόχρονα και στα κανονικά πολύγωνα που ΔΕΝ είναι κατασκευάσιμα με κανόνα και διαβήτη – βλ. επόμενη απειροπληθή λίστα:

7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 90, 91... κλπ

Μεταξύ άλλων, οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν από την εποχή του Ευκλείδη (300 ΠΚΕ) πως να κατασκευάζουν κανονικά τρίγωνα και πεντάγωνα, αλλά ατυχώς αυτά ήταν τα μόνα κανονικά πολύγωνα με πρώτο αριθμό πλευρών, που έφτιαχναν χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη. Tους "ξέφευγαν" τρία κατασκευάσιμα πολύγωνα με πρώτο αριθμό πλευρών: το 17-γωνο, το 257-γωνο και το 65537-γωνο !!! Όμως, ήξεραν πως να διπλασιάζουν τις πλευρές πολυγώνων, καθώς και να συνδυάζουν δύο κανονικά πολύγωνα – πχ τρίγωνο με πεντάγωνο για κατασκευή δεκαπεντάγωνου – με τον περιορισμό οι αντίστοιχοι αριθμοί πλευρών να είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους.

Ούτως ή άλλως οι... πρόγονοί μας είχαν μαθηματικούς άλλης κλάσης!

  Άραγε σκέφτεται ποτέ κανένας τον...  δόλιο κύριο Jones?


YΓ1. Κλικάρατε εύτολμα τις 2 εικόνες και τους... 43 συνδέσμους ?

YΓ2. Πετάτε συχνά με τη φαντασία σας ?

:)

A single timeless everything

An ingenious short video! What a beautiful atypical approach...

Kindly allow me to propose that this video may be easier to understand, provided that the following items are highlighted:

0-D: Just a point. No width, no height, no depth, no duration.

1-D: A line. No height, no depth, no duration.

2-D: A plane. No depth, no duration (ie a square)

3-D: A space. No duration (ie a cube)

4-D: A timeline or world line — imagine a Minkowski space and/or a tesseract / hypercube.  Many frames of space  make a world line. Consider the timeline which we are on, as things are unfolding every second — a simple example would be picking up an apple.

5-D: 2 timelines — contemplate an  alternate timeline in which some type of other outcome is possible in our given timeline, such as picking up two apples, or an orange, or something completely different. Thus, a "probability plane" of 2 timelines is visualized in 5-D, given that not all 4-D timelines pass thru' every possible 3-D frame.

6-D: What to jump through to get from one timeline to another. Think about a timeline where things can happen in our universe, but can not exist from our current position in time, such as a time when dinosaurs were still alive, and the outcomes leading up to the present day is completely changed by this event. Since we can't technically cross to this timeline because we know that dinosaurs are extinct in our timeline, this concept of "folding" of two timelines allows for a path to the impossible. Τhis creates a "probability plane", ie a phase space where we can freely move to any given timeline within our universe with its unique set of laws of physics. From an outsider's point of view afar, this phase space looks like a point containing every possibility in our universe. Therefore, many "probability planes" make a phase space representing all possible outcomes for a unique universe such as ours!

7-D: So far we've been thinking about a universe of possibilities with the same initial conditions, ie the same big bang. But what if the starting conditions were different? Such a universe couldn't feature in the 6-D phase space of this universe, so there must be another dimension. In the 7th dimension, our universe, with all its myriad possibilities and probabilities, is effectively reduced to a single point. And a phase space containing all the possibilities that could occur from different starting conditions in another universe would be a second point. Join the two and you have a line in the 7th dimension.

8-D: Why do we need an 8th dimension? Because there will always be universes that are not included along any 7-D line that we can draw. The 8th dimension, like the 2nd and 5th before it, defines a plane on which lines can co-exist and is the true or ultimate multiverse, containing every single possibility, at every single moment, in every single universe both imaginable and unimaginable. Conveniently, this also explains why we exist — because there has to be a universe in which we do — and why, anyway, there is something rather than nothing, because the multiverse represents both! 

9-D: From the standpoint of 8-D, the 9-D is what one would "jump through" to instantaneously move from one position to another, or to get from one universe to another, i.e. to jump "through 9-D" to a completely different 8-D "phase plane". This is a similar concept to 6-D, where every possible probability is considered, because we are now changing all kinds of constants to the point where these universes might look drastically more different than ours. Thus, many "phase planes"  make a 9-D information space. We are now beyond the physical, dealing only with information patterns that describe general tendencies towards one kind of existence over another, or even patterns that cannot even be expressed as physical universes at all !

10-D: Infinity. Finally, perceiving of this 9-D construct as a single ultimate ensemble takes us to a 10-D visualization, where all possibilities have been taken into account, and all possible information spaces become a single timeless everything.

PS. "Who says" or "what is said"?  Always go for the... "what"!

:)

Αδρή ιχνηλασία

Aπεικόνιση του Homo erectus (Westfälisches Landesmuseum, Γερμανία,  2006)


Χρονοδιάγραμμα της Ανθρώπινης Εξέλιξης (από New Scientist)

55 εκατομ. χρόνια πριν (Million Yrs Ago — MYA)

Εξέλιξη των πρώτων πρωτόγονων πρωτευόντων.

 

8 - 6 MYA

Εξέλιξη των πρώτων γοριλών και στη συνέχεια απόκλιση των γενεαλογιών χιμπατζίδων και ανθρώπων.

 

5,8 MYA

Ο Orrorin tugenensis, ήταν o παλαιότερος πρόγονός μας, ο οποίος φέρεται να έχει περπατήσει πάνω σε δύο πόδια.

 

5,5 MYA

Ο Ardipithecus, ήταν ένας πολύ πρώϊμος "πρωτο-άνθρωπος" που μοιραζόταν χαρακτηριστικά με χιμπατζίδες και γορίλες, και κατοικούσε σε δάση.

 

4 MYA

Εμφάνιση των Αυστραλοπιθήκων. Οι εγκέφαλοί τους δεν ήταν μεγαλύτεροι από εκείνους των χιμπατζίδων — είχαν όγκο γύρω στα 400 - 500 cm³ — αλλά περπατούσαν όρθιοι στα δύο πόδια. Οι πρώτοι ανθρώπινοι πρόγονοι που έζησαν σε σαβάνα.

 

3,2 MYA

Η Lucy, το φημισμένο δείγμα Australopithecus afarensis, έζησε κοντά στο σημερινό Hadar της Αιθιοπίας.

 

2,7 MYA

Ο Paranthropus, έζησε σε δάση και πεδιάδες και διέθετε τεράστια σαγόνια για το μάσημα ριζών και βλάστησης. Εξαφανίστηκε γύρω στα 1,2 MYA.

 

2,5 MYA

Εμφάνιση του Homo habilis. Το πρόσωπό του προεξείχε λιγότερο σε σχέση με τα πρόσωπα των προηγούμενων ανθρωπίδων, αλλά ακόμη διατηρούσε πολλά χαρακτηριστικά των πιθήκων. Ο όγκος του εγκεφάλου του ήταν γύρω στά 600 cm³.

Οι ανθρωπίδες άρχισαν να χρησιμοποιούν τακτικά τα πέτρινα εργαλεία που κατασκεύαζαν, ξεκινώντας έτσι την Ολδοβιανή παράδοση που διήρκεσε 1 εκατομμύριο χρόνια. Μερικοί υιοθέτησαν δίαιτες πλούσιες σε κρέας, κυρίως σαν εκκαθαριστές ζώων. Η πρόσληψη αυτής της επιπλέον ενέργειας μπορεί να ευνόησε την εξέλιξη μεγαλύτερων εγκεφάλων.

 

2 MYA

Καθιέρωση του Homo ergaster στην Αφρική, με όγκο εγκεφάλου γύρω στα 850 cm³. 

 

1,8 - 1,5 MYA

Ο Homo erectus εντοπίστηκε στην Ασία. Σαφώς, ο πρώτος πρόγονός μας που ήταν πραγματικός κυνηγός-συλλέκτης και, επίσης, ο πρώτος που απεδήμησε από την Αφρική σε μεγάλους αριθμούς. Ο εγκέφαλός του προσέγγισε το εντυπωσιακό μέγεθος των 1000 cm³.

 

1,6 MYA

Ενδεχόμενη πρώτη σποραδική χρήση φωτιάς, που υποδηλώνεται από αποχρωματισμένα ιζήματα στην περιοχή Koobi Fora της Κένυα. Πιό πειστικές αποδείξεις καμμένων ξύλων και πέτρινων εργαλείων βρέθηκαν στο Ισραήλ και χρονολογήθηκαν  780,000 χρόνια πριν.

Αυτή τη χρονική περίοδο άρχισαν να κατασκευάζονται πιό σύνθετα πέτρινα εργαλεία (Acheulean) τα οποία ήταν και η επικρατούσα τεχνολογία μέχρι 100,000 χρόνια πριν.

 

600.000 YA

Ο Homo Heidelbergensis έζησε στην Αφρική και στην Ευρώπη. Η χωρητικότητα του εγκεφάλου του ήταν παρόμοια με αυτή των σύγχρονων ανθρώπων.

 

500.000 YA

Οι πιό παλιές ενδείξεις σκόπιμα κατασκευασμένων καταφυγίων — ξύλινες καλύβες — έγιναν γνωστές από τοποθεσίες στο Chichibu της Ιαπωνίας.

 

400.000 YA

Εμφανίστηκαν οι πρώτοι άνθρωποι που κυνηγούν με δόρατα.

 

325.000 YA

Οι αρχαιότερες ανθρώπινες πατημασιές που έχουν βρεθεί, αφέθηκαν από τρεις ανθρώπους που κατέβαιναν την πλαγιά ενός ηφαιστίου στην Ιταλία.

 

280.000 YA

Πρώτες περίπλοκες πέτρες λείανσης και πέτρινες λεπίδες.

 

230.000 YA

Εμφάνιση των Neanderthal, οι οποίοι βρίσκονταν σε όλη την Ευρώπη, από την Βρετανία ως το Ιράν, μέχρι τον αφανισμό τους 28.000 χρόνια πριν,  αρκετά μετά την έλευση των σύγχρονων ανθρώπων.  

 

195.000 YA

Το είδος μας Homo sapiens εμφανίζεται στο προσκήνιο — και λίγο μετά ξεκινάει την μετανάστευσή του σε Ασία και Ευρώπη. Τα πιό παλιά ανθρώπινα ευρήματα είναι δύο κρανία που βρέθηκαν στη Αιθιοπία και χρονολογούνται αυτή την περίοδο. Ο μέσος ανθρώπινος εγκέφαλος έχει όγκο 1350 cm³.

 

170.000 YA

Η Μιτοχονδριακή Εύα, ο απευθείας πρόγονος όλων των  σημερινών ζώντων ανθρώπων, πιθανότατα ζούσε στην Αφρική.

 

150.000 YA

Οι πρώτoι άνθρωποι που  ανέπτυξαν την ικανότητα της ομιλίας. Κοσμήματα από κοχύλια 100.000 ετών υποδηλώνουν ότι οι άνθρωποι είχαν αναπτύξει περίπλοκη γλώσσα, αλλά και ικανότητα για αφηρημένο συμβολισμό.

 

140.000 YA

Πρώτες ενδείξεις εμπορίου μεγάλων αποστάσεων.

 

110.000 YA

Πρώϊμες χάντρες — από αυγά στρουθοκαμήλου — και κοσμήματα.

 

50.000 YA

Το μεγάλο άλμα μπροστά — η ανθρώπινη κουλτούρα αρχίζει να αλλάζει πολύ πιό γρήγορα από πριν. Οι άνθρωποι αρχίζουν το τελετουργικό θάψιμο των νεκρών. Κατασκευάζουν ρούχα από δέρματα ζώων. Αναπτύσουν περίπλοκες τεχνικές κυνηγιού, όπως οι λακκοπαγίδες.

Αυτή την περίοδο πραγματοποιείται και η αποίκιση της Αυστραλίας.

 

33.000 YA

Εμφάνιση της παλαιότερης τέχνης σπηλαίων. Αργότερα, οι τεχνίτες της Λίθινης Εποχής δημιουργούν τις θεαματικές τοιχογραφίες στο Lascaux και στο Chauvet της Γαλλίας.

Ο Homo erectus πεθαίνει στην Ασία — αντικαθίσταται από τον σύγχρονο άνθρωπο.

 

18.000 YA

Οι Homo Floresiensis, ή αλλιώς, οι άνθρωποι "Hobbit", βρέθηκαν στο νησί Flores της Ινδονησίας. Το ύψος τους ήταν μόλις ένα (1) μέτρο και είχαν εγκεφάλους παρόμοιους σε μέγεθος με εκείνους των χιμπατζίδων — όμως χρησιμοποιούσαν προχωρημένα πέτρινα εργαλεία.

 

12.000 YA

Οι σύγχρονοι άνθρωποι φτάνουν σε Βόρεια και Νότια Αμερική.

 

10.000 YA

Ανάπτυξη και εξάπλωση της της Γεωργίας. Εμφάνιση των πρώτων οικισμών και χωριών. Ενδεχόμενη εξημέρωση των σκύλων.

 

5.500 YA

Τέλος της Λίθινης Εποχής και αρχή της Εποχής του Χαλκού. Οι άνθρωποι χυτεύουν και επεξεργάζονται χαλκό και κασσίτερο αντικαθιστώντας τα λίθινα εργαλεία με τα εν λόγω μέταλλα.

 

5.000 YA

Πρώτη γνωστή γραφή

 

4.000 to 3.500 BCE

Πρώτος πολιτισμός από τους Σουμέριους στη Μεσοποταμία.

 

Απεικόνιση του Homo heidelbergensis — πιθανού απευθείας προγόνου των Homo neanderthalensis και Homo sapiens

 

ΥΓ. Κλικάρετε άφοβα τις 2 εικόνες και τα 44 link της ανάρτησης

:)

Ακατάπαυστος εικονικός χορός

 

Στιγμιότυπο της φευγαλέας δομής ενός πρωτονίου —  όπου κουάρκ, αντικουάρκ και γλουόνια εμφανίζονται από το τίποτα και εξαφανίζονται στο πουθενά συγκρουόμενα ανηλεώς μεταξύ τους κοντά σε ταχύτητες φωτός! 

Επιτέλους, τι εστί... πρωτόνιο;

Πρώτα απ' όλα, η δομή του είναι ένας κυκεώνας — απίστευτης αταξίας!  Το πρωτόνιο είναι χαοτικό και πολύπλοκο, σε αντίθεση με την κομψότητα και απλότητα ενός ατόμου υδρογόνου, που το περιέχει στον πυρήνα του.

Το υδρογόνο είναι ένα απλό παράδειγμα μίας "κβαντικά δεσμευμένης κατάστασης". Οι φυσικοί με τη λέξη "κατάσταση"  υποδηλώνουν κάτι που... παραμένει (τουλάχιστον) για λίγο, ενώ η λέξη "δεσμευμένη" αναδεικνύει συνιστώσες συνδεδεμένες μεταξύ τους, όπως πχ δύο συζύγους που συνδέονται με τα δεσμά του γάμου, ακόμα κι' όταν ο ένας έχει μεγαλύτερο ειδικό βάρος από τον άλλο. Το βαρύ πρωτόνιο που κινείται μετά βίας είναι το εστιακό σημείο του ζεύγους, ενώ το πανάλαφρο ηλεκτρόνιο πλέει με κβαντική ιδιορρυθμία στα πέριξ, πολύ πιό γρήγορα από εσάς και εμένα, αλλά πολύ πιό αργά από την ταχύτητα του φωτός. Όπως ήδη καταλάβατε, έχουμε ενώπιόν μας το ειρηνικό όραμα μίας ιδανικής συζυγικής ευδαιμονίας!

Ωστόσω — σύμφωνα με το στιγμιότυπο της πρώτης εικόνας — τα πράγματα αλλάζουν άρδην, όταν "διεισδύουμε" στα ενδότερα κάποιου πρωτονίου. Εκεί κατοικοεδρεύει παροδικά ένα εξαιρετικά μεγάλο πλήθος εικονικών σωματιδίων (κουάρκ, αντικουάρκ και γλουονίων) που δεν μας "επιτρέπουν" την χρησιμοθηρική παρακολούθηση και καταμέτρησή τους. Κι' όμως, αυτή η δομή εξηγείται επαρκώς από την κβαντική χρωμοδυναμική (QCD) — μία ΠΑΝΕΜΟΡΦΗ, μη-γραμμική φυσικομαθηματική περιγραφή, που "πτοεί" αρκετούς σωματιδιακούς φυσικούς, αφού δεν τους αφήνει και πολλά περιθώρια το χάος των "εφήμερων" γλουονίων, που αλληλοεπιδρούν ακόμη και μεταξύ τους!

Σήμερα γνωρίζουμε πολύ καλά, ότι μέσα στα πρωτόνια οργιάζει ένας ακατάπαυστος χορός περαστικών σωματιδίων που τρεμοπαίζουν σε ύπαρξη ή ανυπαρξία, όπως τα προαναφερθέντα γλουόνια, που είναι τα σωματίδια-φορείς της ισχυρής αλληλεπίδρασης. Τα τρία βασικά κουάρκ που δομούν ένα πρωτόνιο — γνωστά ως κουάρκ σθένους — ανταλλάσσουν μεταξύ τους γλουόνια, τα οποία συμπεριφέρονται ως ισχυρότατα "ελατήρια" που αυξάνουν την ελκτική δύναμη ανάμεσα στα κουάρκ όσο αυτά απομακρύνονται (!) — παγιδεύοντάς τα στις υψίστης ασφαλείας αδρονικές φυλακές τους. Εκτός από τα 3 κουάρκ σθένους και τα γλουόνια, το όλο σκηνικό συμπληρώνεται με την ακατάπαυστη εμφάνιση και εξαφάνιση εικονικών ζευγών κουάρκ και αντικουάρκ, τα οποία συμβάλουν καθοριστικά στις ιδιότητες των πρωτονίων, αλλά και των νουκλεονίων γενικότερα.

Μπορεί να έχετε ακούσει ότι το πρωτόνιο (όπως άλλωστε και το νετρόνιο) αποτελείται από 3 κουάρκ. Αυτό είναι ψέμα — ένα ψέμα ευκολίας μεν, αλλά ένα πολύ μεγάλο ψέμα δε! Στην πραγματικότητα, η ευσύνοπτη στενογραφία ότι: "το πρωτόνιο αποτελείται απο δύο up-κουάρκ και ένα down-κουάρκ"  σημαίνει πως "το πρωτόνιο έχει δύο επιπλέον up-κουάρκ από τα up-αντικουάρκ που περιέχει, καθώς και ένα παραπάνω down-κουάρκ από τα down-αντικουάρκ που ξεφαντώνουν μέσα του, με φόντο έναν εξαιρετικά μεγάλο αριθμό γλουονίων και ζευγών κουάρκ-αντικουάρκ!"

Συνδυάζοντας τα παραπάνω με την ομορφιά της Θεωρίας Χορδών, αλλά και των πολλαπλοτήτων Calabi - Yau — σύμφωνα με τις οποίες η τοπολογία των "κρυμμένων" διαστάσεων είναι αποκλειστικά υπεύθυνη για την αυθόρμητη "ανάδυση" όλων των υποατομικών σωματιδίων στο σύμπαν — τότε αναπόφευκτα αυτή η συναρπαστική περιπέτεια των φυσικομαθηματικών επιστημών εκτοξεύει τους μύστες της σε διευρυμένους πνευματικούς ορίζοντες, σε πείσμα των αφελών θεϊστικών μύθων που προσβάλουν κατάφωρα την νοημοσύνη μας!

Φευγαλέο εικονικό ζευγάρι κουάρκ - αντικουάρκ;

ΥΓ. Kλικάρετε χωρίς πάθος κυρίως τις 2 εικόνες, αλλά και τα 22 link 

:)

Προβλήματα ζευγαριών ?

 Darling, you send me...

Επιτέλους! Επιλύονται όλα τα προβλήματα των ζευγαριών! 

Η εικασία των Δίδυμων Πρώτων είναι ένα από τα αρχαιότερα άλυτα προβλήματα των Μαθηματικών. Στο πλαίσιο της Θεωρίας Αριθμών, που σαφώς είναι η βασίλισσα των Μαθηματικών,  γίνεται προσπάθεια να αποδειχθεί ότι υπάρχει άπειρο πλήθος από ζεύγη πρώτων αριθμών, οι οποίοι διαφέρουν μεταξύ τους κατά δύο μονάδες, όπως πχ τα ζεύγη 3-5, 5-7, 11-13, 17-19, 29-31, 41-43, 59-61 κλπ

Ένα σημαντικό βήμα για την απόδειξη αυτής της εικασίας έγινε από τον 59χρονο μαθηματικό Γιτάνγκ Ζανγκ — του οποίου το ταλέντο είχε εντελώς παραγνωριστεί μετά την απονομή του διδακτορικού του το 1991, αφού του ήταν πολύ δύσκολο να βρει κάποια ακαδημαϊκή δουλειά και έτσι αναγκάστηκε να δουλέψει για αρκετά χρόνια, όχι μόνο ως λογιστής, αλλά ακόμη και σε κατάστημα πώλησης σάντουϊτς στο μετρό! 

Τελικά, αυτός ο ταλαντούχος μαθηματικός κατάφερε να αποδείξει πως υπάρχουν άπειρα ζεύγη συνεχόμενων πρώτων αριθμών που η διαφορά μεταξύ τους ΔΕΝ είναι μεγαλύτερη από 70 εκατομμύρια!!!

Λίγο καιρό μετά την πυροδότηση από τον Ζανγκ μίας εκτεταμένης ερευνητικής δραστηριότητας στο αντικείμενο, η εν λόγω διαφορά μειώθηκε σε μόλις 600 μονάδες, όταν ο 26χρονος μαθηματικός Τζέιμς Μέιναρντ ανανέωσε τη μέθοδο που είχε χρησιμοποιήσει ο Ζανγκ. Πρόσφατα υπήρξε και άλλη μείωση της διαφοράς στις 246 μονάδες.

Συμπερασματικά, η επικρατούσα άποψη είναι ότι η απροϋπόθετη διαφορά θα αγγίξει τις έξι μονάδες, αλλά και ότι σίγουρα θα χρειαστεί διαφορετική προσέγγιση για να φτάσουμε στις δύο, της πανάρχαιας εικασίας!

  Το περίφημο κόσκινο του Ερατοσθένη


ΥΓ. Προτείνω να κλικάρετε τις 2 εικόνες και τα 10 link του κειμένου

:)

Χθες το βράδυ

 Σε παραλία κοντά στη Λάσση της Κεφαλονιάς (27-12-2014)

Όσο περνάει ο χρόνος, τόσο όλα και όλοι μοιάζουν με κόκκους άμμου που δραπετεύουν ανάμεσα στα δάχτυλά μας πριν εξαφανιστούν στον άνεμο...

 My lucid dream (από τότε...)

ΥΓ: Δεν είναι ανάρμοστo τo κλικάρισμα σε εικόνες και συνδέσμους !

:)

Συνήθεια...

Άσπρο ή μαύρο?

Ηere's my routine:
I have retired from the late scene
when midnight rings I'm in bed listening
I wake up at five
run by the river till the sunrise
as everybody knows I'm... disciplined !!!

Από τη φύση μου ήμουν ανυπόμονος και απειθάρχητος. Κι' όμως, κάποτε λάτρεψα το σκάκι, επειδή με υποβοήθησε στην ανάπτυξη στοιχειώδους υπομονής και πειθαρχίας στις εναλλακτικές επιλογές, όταν οι παρορμητικές αποφάσεις έδειχναν εξαιρετικά ελκυστικές.

Η σουρεαλιστική συνύπαρξη των λατρεμένων Franks και Χιώτη — που σαφώς η αύρα τους είχε διαπλακεί χωροχρονικά μαζί μου — είναι κατάλληλο σκηνικό για να αναφωνήσω με όση έμφαση μπορώ:

ΠΑΡΤΑ ΟΛΑ, καινούργιε χρόνε !

Nuit Blanche ?  

ΥΓ1. Κλικάρετε αδίστακτα: video, εικόνες και τα 7 link του κειμένου

ΥΓ2. ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ !!!

:)

Αιώνιο ψήγμα χρυσού

  Εικ 1: Aπό το βιβλίο STRING THEORY, Vol I του Joseph Polchinski

Η συντριπτική πλειοψηφία των ανθρώπων θεωρεί ότι η ad infinitum πρόσθεση των φυσικών αριθμών οδηγεί στο άπειρο. Όμως τα video του δημοσιογράφου Brady Haran — με τους Ed Copeland και Tony Padilla, που είναι Φυσικοί στο παν/μιο Nottingham της Αγγλίας — υπενθυμίζουν (μεταξύ άλλων) τον πανέμορφο υπολογισμό του Euler, που σύμφωνα με τον καθηγητή του Berkeley Edward Frenkel, είναι ένα από τα καλύτερα κρυμμένα "μυστικά" των Μαθηματικών — βεβαίως σε "πείσμα" κάποιου αδίστακτου κλικ στην 2η εικόνα της ανάρτησης!

Ιδού το δέος:    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... ad infinitum  =  - 1/12      !!!!! 

Παρά τις συναδελφικές γκρίνιες (βλ. ΥΓ3) υπάρχει ευρύτατη συμφωνία για το ότι μία πιό αυστηρή προσέγγιση στο πρόβλημα δίνει το ίδιο αποτέλεσμα, όπως φαίνεται από τον τύπο (1.3.32) στη σελίδα 22 του πρώτου τόμου του εξαιρετικού δίτομου έργου “String Theory” του  Joseph Polchinski.

Ας μην ανησυχούν όσοι δε θυμούνται ή δε γνωρίζουν... βέσπα, δηλ. μιγαδικές επεκτάσεις και λοιπά συναφή που διδάσκονται στα παν/μια. Οι δύο απλούστατες αποδείξεις του επίμαχου αθροίσματος — που "κρύβονται" κυρίως στη 2η εικόνα και δευτερευόντως στο παραπάνω video — είναι εύληπτες και εύκολα μπορεί να τις παρακολουθήσει ο καθένας. Όσον αφορά το video που "κρύβεται" στην 1η εικόνα, η ιδιοφυής προσέγγιση του Edward Frenkel είναι ανεπανάληπτη !

 Εικ 2: Nαι! Xρησιμοποιείται στη Θεωρία Χορδών και στη Κβαντομηχανική Θεωρία Πεδίων

ΥΓ1. Διευκρινίζω ότι το δάχτυλο της 1ης εικόνας δεν είναι δικό μου, αλλά... ανήκει στον Dr Tony Padilla !

ΥΓ2. Κλικάρετε ανηλεώς το video, τις εικόνες και τα link στο κείμενο!

ΥΓ3. Υπάρχει και συναρπαστικός αντίλογος (πχ εδώ και εδώ) 

ΥΓ4. Το “Love and Math: The Heart of Hidden Reality” είναι ένα εκπληκτικό βιβλίο του μαθηματικού Edward Frenkel, που διάβασα πρόσφατα και προτείνω ανεπιφύλακτα.

:)

Coffee and sAx

Φωτο του Stanley Kubrick - H Rosemary Williams πίνει καφέ (Νέα Υόρκη, 1949)

Μη παίζεις το σαξόφωνο. Άστο να σε παίζει εκείνο...

Πιστέψτε με... Δεν γίνεται καλύτερα !

ΥΓ. Ουδόλως βλάπτουν τα κλικ σε video, εικόνα και συνδέσμους

:)

Ενδιαφέρουσα ανία...

 Από την υπέροχη κινηματογραφική ταινία: Computer Chess (2013)

Όποτε εστιάζω την προσοχή μου στη βαρεμάρα, δηλαδή στην επιθυμία για επιθυμίες, η ανία γίνεται απίστευτα ενδιαφέρουσα. Ούτως ή άλλως, η πλήξη είναι ένα  ζωτικότατο πρόβλημα για τους κάθε λογής ηθικολόγους, αφού οι μισές "αμαρτίες" της ανθρωπότητας αιτιολογούνται από τον φόβο για την μονοτονία.

Καθόσον δεν αποδέχομαι το αφελές ανθρωπογενές παραμυθάκι κάποιας επερχόμενης μεταθανάτιας ζωής, δεν χάνω καθόλου χρόνο προβληματιζόμενος για την... Κόλαση, ή — ακόμα χειρότερα! — ανησυχώντας για έναν ανύπαρκτο Παράδεισο. Άσε που, όποιες κι' αν είναι οι δοκιμασίες και τα βασανιστήρια στο Πουργατόριο, η ανία στον υποτιθέμενο Κήπο της Εδέμ θα ήταν πολύ χειρότερο μαρτύριο, όπως συνάγεται από την κατανάλωση απαγορευμένων μήλων. Συνεπώς, εύτολμα εικάζω, ότι ελάχιστοι θα άντεχαν την αιώνια Ευτυχία, ιδιαίτερα όταν οι πλέον ενδιαφέροντες άνθρωποι ενδεχομένως θα κατοικοέδρευαν στην Κόλαση — αν υπήρχε!

Σε κάθε περίπτωση, η μεγάλη μου φιλοδοξία σ' αυτή τη μοναδική ζωή είναι να πεθάνω από εξάντληση, παρά από βαρεμάρα!

Η 20χρονη  Rachel Baran σε μία όμορφη σουρεαλιστική απεικόνιση του εαυτού της


ΥΓ. Αν θέλετε, κλικάρετε εικόνες και συνδέσμους στο κείμενο

:)

Slightly out of tune

Σεπτέμβριος... ο ασύγκριτος μήνας της ηρεμίας και της ομορφιάς.

Δύσκολο να ανασύρω από το παρελθόν οτιδήποτε... "έκνομο" σχετιζόμενο με τον Σεπτέμβριο, γιατί τότε θα κοκκίνιζαν τα φύλλα, ακριβώς όπως εγώ.

When I try to sing you say I'm off key
Why can't you see how much this hurts me
With your perfect beauty and your perfect pitch
You're a perfect terror...

ΚΑΛΟ ΣΕΠΤΕΜΒΡΗ !

:)

Απρόσμενη ροή δημιουργικών χυμών

 

Η ησυχία συνήθως συμβαδίζει με την ανάγκη για αυτοσυγκέντρωση, αλλά δεν βοηθάει όσο νομίζουμε την πρωτότυπη σκέψη και τις ιδέες "έξω από τα καθιερωμένα". Όπως προκύπτει από πρόσφατη έρευνα, λίγος θόρυβος προσφέρει περισσότερες πιθανότητες για να εισάγουμε τάξη στην τυχαιότητα του περιβάλλοντός μας, ώστε να ξεμπερδεύουμε με τα βαρετά, επαναλαμβανόμενα πρότυπα και να εκμεταλευτούμε την δημιουργικότητά μας!

Σε πειράματα των Ravi Mehta, Rui (Juliet) Zhu, and Amar Cheema βρέθηκε ότι η ήπια στάθμη περιβαλλοντικού θορύβου των 70 dB ― πχ ήχος πολύβοης καφετέριας ή  τηλεόρασης σε living room ― επαυξάνει την δημιουργικότητα, σε αντίθεση με την υψηλή στάθμη των 85 dΒ ― πχ ήχος μπλέντερ ή σκουπιδοφάγου ― που την βλάπτει.

Tα αποτελέσματα της παραπάνω έρευνας επιβεβαιώνουν αυτό που αρκετοί ελεύθεροι  επαγγελματίες και φοιτητές ήδη γνωρίζουν πολύ καλά, δηλαδή το ότι δεν είναι ιδιαίτερα αποδοτικό να "κλειδώνεις" τον εαυτό σου σε απομόνωση, προκειμένου να πραγματοποιήσεις ένα άλμα δημιουργικότητας. Αντίθετα, σε ένα ημιθορυβώδες περιβάλλον η πρωτοτυπία συνήθως "ρέει" μαζί με τα 1.80 € του espresso!

Η επίσκεψη στην αγαπημένη σας καφετέρια με το επαρκές εύρος ζώνης και τον ξεχωριστό καφέ (ή καμιά φορά το... τσάϊ, αν είστε "ιδιόρρυθμοι" όπως εγώ) είναι μεν εγγύηση για να τελειώσετε κάποια δημοσίευση ή project στο πλαίσιο της εργασίας σας, αλλά πλέον δεν είναι και τόσο απαραίτητη. Κι' αυτό γιατί υπάρχει ο ιστότοπος Coffitivity, που άντλησε την έμπνευσή του απο την προαναφερθείσα έρευνα και προσομοιώνει τους ήχους καφετέριας !

Αν και τίποτε δεν αντικαθιστά αυτό που αντιλαμβανόμαστε ως πραγματικότητα, ουδόλως "βλάπτει" μία άμεση δοκιμή, για να ενεργοποιήσετε ― έστω και ψηφιακά ― την ροή των δημιουργικών σας χυμών !

YΓ. Κλικάρετε αδίστακτα εικόνες, συνδέσμους και... Coffitivity!

:)

Corporate escapism !

 

 

Θεσπέσια σουρεαλιστική απεικόνιση του Αndrew Baines, που δημιουργεί υπέροχες συνηχήσεις.

Πίσω στα ... βασικά λοιπόν! 

Οι 60 εθελοντές που βρέθηκαν χαράματα στην παραλία ― ανάμεσά τους και ο Malcolm Turnbull, πρώην πρόεδρος του κόμματος Φιλελευθέρων της Αυστραλίας ― υπαινίσσονται έναν "μεταφορικό" τρόπο απόδρασης από τα γκρίζα γραφεία, τα διογκωμένα εταιρικά ωράρια και το καταθλιπτικό περιβάλλον των τσιμεντουπόλεων, με απώτερο στόχο την απόλαυση της φύσης, αλλά και την ισορροπία μεταξύ ζωής και εργασίας.

Καλό ξημέρωμα,  με το παρακάτω video:

 

 ΥΓ. Eικόνα, video και 9 σύνδεσμοι αδημονούν για κάποιο click

:)

Mη πατάτε τη... χλόη !

Το γέλιο απαλύνει ακόμη και τα χειρότερα χτυπήματα της ζωής. Είναι ένα αποτελεσματικό εξελικτικό όπλο του ανθρώπινου είδους, που διευκολύνει την έκλυση ενδορφινών στον εγκέφαλο - όπως άλλωστε ο πόνος και η άσκηση - και βοηθάει στην επιβίωση από οποιαδήποτε δυσάρεστη κατάσταση, όσο οδυνηρή κι' αν είναι.

Υπάρχουν φορές που δεν μπορούμε να αποφύγουμε το γέλιο. Έρχεται ξαφνικά, σαν απρόσκλητος επισκέπτης και εγκαθίσταται στην αγαπημένη μας πολυθρόνα, όσο εκείνο θέλει. Και τότε, το σύμπαν περιέρχεται σε μία καλειδοσκοπική κατάσταση καινούργιων ενδεχομένων !

Συνεπώς το γέλιο - αλλά και το ευρύτερο "υπερσύνολό" του που ονομάζουμε χιούμορ - παρέχουν την απαραίτητη απόσταση για να σταθούμε μπροστά σε μία κατάσταση και να την αντιμετωπίσουμε, ώστε μετά να συνεχίσουμε απτόητοι τη ζωή μας.

Μερικές φορές όταν με εκνευρίζει η αποπνικτική σοβαροφάνεια ορισμένων, σκέφτομαι τα λόγια του Peter Ustinov: "To γέλιο θα ήταν θλιμμένο, αν δεν υπήρχε ο σνομπισμός!"  Τι υπέροχη φράση από τον  άνθρωπο που, σύμφωνα με έναν επικήδειό του στην Die Zeit, όταν ρωτήθηκε, απάντησε ότι ήθελε η μοναδική μαρμάρινη επιγραφή στον τάφο του, να είναι χαραγμένη με το εξής απέριττο: 

"Mη πατάτε τη... χλόη!" 

Tη χλόη του τάφου του, εννοείται...

 

YΓ. Αντίθετα με τη χλόη, πατείστε άφοβα εικόνες και συνδέσμους!

:)

Ανέλπιστα παράξενη έλξη !

To 1963, o Edward Lorenz (1917-2008) διερευνούσε την μετάδοση θερμότητας με συναγωγή στην γήϊνη ατμόσφαιρα. Επειδή οι περίφημες εξισώσεις Navier-Stokes, που περιγράφουν την δυναμική συμπεριφορά των ρευστών, ήταν (και είναι μέχρι σήμερα !) αδύνατον να επιλυθούν στην πλήρη τους μορφή, τις απλοποίησε δραστικά χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις συναγωγής του Saltzman. Όσοι έχετε κάποια "έκνομη" ή έστω "ρομαντική" σχέση με τα Μαθηματικά, μη διστάσετε να ρίξετε μιά αδίστακτη ματιά στη σελ. 134 της ιστορικής δημοσίευσης του Lorentz !

Τελικά ο Lorenz επινόησε ένα δραματικά απλοποιημένο μαθηματικό μοντέλο. Οι εραστές της μαθηματικής λεπτομέρειας μπορούν να δουν τις εξισώσεις 25, 26 και 27 στη σελ. 135 της δημοσίευσης.

Το μοντέλο Lorenz έχει ελάχιστη σχέση με ότι λεπτομερώς συμβαίνει στην ατμόσφαιρα. Αν και ήταν ένα παιχνίδι-μοντέλο που είχε ως στόχο την κατανόηση ενός απίστευτα περίπλοκου φαινομένου, ο Lorenz σύντομα αντιλήφθηκε ότι είχε μεγάλο ενδιαφέρον από μαθηματική άποψη.

Υπάρχουν μόνο τρεις παράμετροι στο μοντέλο του (στη δημοσίευση του 1963 χρησιμοποίησε τις τιμές  σ = 10, β = 8/3, ρ = 28) έτσι ώστε κάθε σημείο (x,y,z) συμβόλιζε μία ξεχωριστή κατάσταση της ατμόσφαιρας, ενώ η μεταβολή του καιρού κατέληγε σαν εξέλιξη τροχιών σε τριδιάστατο διανυσματικό χώρο φάσεων.

Το πρώτο θεαματικό εύρημα ήταν η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Δύο αρχικές  καταστάσεις της ατμόσφαιρας, που πρακτικά είναι σχεδόν ίδιες, πολύ σύντομα εξελίσσονται εντελώς διαφορετικά και οι τροχιές τους αποκλίνουν δραματικά!

Όμως το δεύτερο εύρημα ήταν ασύγκριτα αντι-διαισθητικότερο !  Οι τροχιές οποιουδήποτε μεγάλου αριθμού αρχικών καταστάσεων ΠΑΝΤΑ καταλήγουν μετά απο λίγο στο ίδιο τρισδιάστατο αντικείμενο του χώρου φάσεων, που έχει το ανέλπιστο σχήμα πεταλούδας: Τον υπέροχο ελκυστή του Lorenz ! Έναν παράξενο ελκυστή...

 

ΥΓ. Είναι... υποχρεωτικό το κλικάρισμα στην παραπάνω εικόνα !

:)