May 6, 2020

Εργοδικότητα και Ισομορφισμοί



Οι παρακάτω έννοιες προσεγγίζονται με διαισθητικό στυλ, έτσι ώστε κάποιος χωρίς σοβαρό μαθηματικό υπόβαθρο να μπορέσει απτόητος να τις ψηλαφίσει, και ενδεχομένως να εκτιμήσει  την ομορφιά τους.

Ας ξεκινήσουμε με ένα δίκαιο ζάρι, που αν το το ρίξουμε 100 φορές εμφανίζει στατιστικά τις ίδιες πιθανότητες με 100 ολόϊδια δίκαια ζάρια που ρίχνουμε από μία φορά το καθένα. Η ρίψη τέτοιων ζαριών είναι  “εργοδική”. Όμως, αν λιμάρουμε την άκρη του ζαριού μετά από 10 ρίψεις, έτσι ώστε να είναι προκατειλημμένο στην εμφάνιση του αριθμού 4, τότε αναδύεται η “μη εργοδικότητα”, όπου 1 ζάρι 100 φορές ΔΕΝ ισοδυναμεί με 100 διαφορετικά ζάρια απο μία φορά! Ατυχώς, πολλοί αντιμετωπίζουν τα μη εργοδικά συστήματα ως εργοδικά.

Η μη εργοδικότητα είναι θεμελιώδης αλλά ελάχιστα γνωστή έννοια, όπως άλλωστε και η εργοδικότητα. Υπάρχει εργοδικότητα όταν το σύστημα που εξετάζουμε "επισκέπτεται" όλες τις πιθανές του καταστάσεις, όπως τα αμερόληπτα ζάρια που προαναφέρθηκαν. Συνεπώς, τα εργοδικά συστήματα ΔΕΝ έχουν βαθειά "αίσθηση" της ιστορίας τους.  Σε αντιδιαστολή, τα μη εργοδικά συστήματα ΔΕΝ επισκέπτονται όλες τις πιθανές τους καταστάσεις, και ως εκ τούτου εμπεριέχουν μία βαθειά "αίσθηση" της ιστορίας τους. Η εξέλιξη της ζωής στη βιόσφαιρά μας είναι θεμελιωδώς μη εργοδική και ιστορική, αφού εξελικτικά δεν αναδύθηκαν όλες οι πιθανές μορφές ζωής (καταστάσεις, φάσεις ή σημεία στο χώρο φάσεων), αλλά μόνο ένα απειροελάχιστο υποσύνολό τους.

Ας προχωρήσουμε τώρα με τη φαντασία μας σ' ένα "ιδιόρρυθμο" τραπέζι μπιλιάρδου ασυνήθιστου σχήματος, που έχει μία ιδιαίτερα λεία επιφάνεια χωρίς τριβές και καθόλου τρύπες. Ένα μέρος του τραπεζιού είναι βαμένο άσπρο και το υπόλοιπο είναι μαύρο. Μία μπάλα μπιλιάρδου τοποθετείται σε ένα τυχαίο σημείο του περίεργου τραπεζιού και χτυπιέται με τυχαία ταχύτητα σε μία τροχιά. Παρεπιπτόντως, τα μάτια σου είναι καλυμμένα με μάσκα και δε γνωρίζεις ποιό είναι το σχήμα του τραπεζιού. Όμως, καθώς η μπάλα περιφέρεται, δέχεσαι συνεχείς ενημερώσεις για το πότε η μπάλα βρίσκεται στο άσπρο τμήμα του τραπεζιού και πότε στο μαύρο. Από αυτές τις πληροφορίες οφείλεις να συμπεράνεις όσα περισσότερα μπορείς για όλο το σύστημα: πχ αν το τραπέζι έχει το σχήμα ενός ορθογώνιου παραλληλόγραμμου ή όχι.   

Το γνωστικό πεδίο που περιλαμβάνει το προηγούμενο παράδειγμα ονομάζεται εργοδική θεωρία, και μοντελοποιεί εντελώς διαφορετικά συστήματα (ζάρια, εξέλιξη ζωής, τραπέζια μπιλιάρδου, κλίμα κλπ) χρησιμοποιώντας την αφαιρετική προσέγγιση των μετασχηματισμών διατήρησης μέτρου.

Για να προσπελάσουμε αυτή τη τελευταία εννοιολογική αφαίρεση, είναι εντελώς απαραίτητο να εστιάσουμε στις έννοιες του μέτρου και των μετασχηματισμών. Το μέτρο, δεν είναι παρά ένα μέγεθος που μας λέει πόσο μεγάλο είναι ένα σύνολο, ή, στη γλώσσα των πιθανοτήτων, πόσο πιθανό είναι να συμβεί ένα ενδεχόμενο. Ας σημειωθεί ότι ένας χώρος πιθανοτήτων έχει πάντα ως συνολικό μέτρο τον αριθμό "1".  Φυσικά,  ένα οποιοδήποτε μέτρο οφείλει να συμπεριφέρεται όπως ακριβώς και η ιδέα του μεγέθους: πχ το μέτρο της ένωσης δύο διακεκριμένων συνόλων πρέπει να ισούται με το άθροισμα των μέτρων των συνόλων. Από την άλλη πλευρά, ένας μετασχηματισμός είναι ένας τρόπος να αντιστοιχηθεί ο χώρος με τον εαυτό του, κατανέμοντας ένα σημείο σε ένα άλλο. Σε πολλές περιπτώσεις οι μετασχηματισμοί καταδεικνύουν μία εξέλιξη στον χρόνο: για παράδειγμα, μπορεί να αντιστοιχίζουν τη θέση και κατεύθυνση μιας μπάλας μπιλιάρδου κατά την τρέχουσα στιγμή, με τη θέση και κατεύθυνση της μπάλας ένα δευτερόλεπτο αργότερα.

Η εργοδική θεωρία διερευνά τους μετασχηματισμούς σε χώρους πιθανοτήτων οι οποίοι διατηρούν αναλλοίωτο το μέτρο. Έτσι, για παράδειγμα, αν ένα σύνολο σημείων Α έχει μέτρο 1/69, και ένας μετασχηματισμός Τ διατηρεί το μέτρο, τότε το σύνολο των σημείων που αντιστοιχίζονται στο Α μέσω του Τ, θα έχουν επίσης μέτρο 1/69. Όταν δε το μέτρο ερμηνεύεται ως πιθανότητα (όπως είπαμε πάντα μικρότερη της μονάδος) αυτή η ιδιότητα διατήρησης του μέτρου καταδεικνύει το χρονικό αναλλοίωτο (μη μεταβολή στον χρόνο — στασιμότητα) των αναμενόμενων συχνοτήτων εμφάνισης ορισμένων ενδεχομένων (όπως πχ την πιθανότητα της μπάλας μπιλιάρδου να βρίσκεται στο άσπρο τμήμα του τραπεζιού.)

 Όταν εφαρμόζεται ένας μετασχηματισμός ξανά και ξανά, και ελέγχουμε μετά από κάθε εφαρμογή του αν κάποιο ενδεχόμενο έχει συμβεί καταγράφοντας το αποτέλεσμα, τότε έχουμε μία διεργασία. Η γλώσσα των διεργασιών και η γλώσσα των μετασχηματισμών είναι στην πραγματικότητα δύο διαφορετικοί τρόποι που περιγράφουν το ίδιο πράγμα. Πχ, έχουμε μία διεργασία στο παράδειγμα του μπιλιάρδου, αν καταγράφουμε σε χρονικά διαστήματα του ενός δευτερολέπτου, είτε το Μ ή το Α,  για τη θέση της μπάλας.  Το αποτέλεσμα Μ Μ Α Α Μ . . . αναπαριστά την μπάλα στις περιοχές  μαύρη, μαύρη, άσπρη, άσπρη και μαύρη κατά τις χρονικές στιγμές 0, 1, 2, 3 και 4 αντίστοιχα.

Προφανώς μπορούμε να αναλύσουμε και διεργασίες συστημάτων του πραγματικού κόσμου, χωρίς προηγούμενη γνώση των επιδρώντων μετασχηματισμών. Πχ, ας πούμε ότι καταγράφουμε το μεσημέρι κάθε μέρας, αν ο καιρός είναι βροχερός ή ηλιόλουστος, κωδικοποιώντας το με ένα Β ή Η. Αν αυτό το κάνουμε κάθε μέρα στο παρόν και στο μέλλον, θα έχουμε σαν αποτέλεσμα μία διπλά  άπειρη (δηλ. και από τα δύο άκρα άπειρη) χρονοσειρά  από  Β και Η, όπως: . . . Η Β Β Η (Η) Β Β Β Η . . .  Εδώ οι παρανθέσεις ταυτοποιούν την τρέχουσα μέρα  (είναι ηλιόλουστη σήμερα, θα είναι βροχερή αύριο, ήταν ηλιόλουστη χθες, κλπ)

Για να μεταφέρουμε το προηγούμενο παράδειγμα στη γλώσσα των μετασχηματισμών, παρατηρούμε ότι το σύνολο των διπλά άπειρων χρονοσειρών απο Β και Η συνιστά κάποιον χώρο, και ένας φυσικός μετασχηματισμός αυτού του χώρου είναι η μετατόπιση, ας πούμε εκείνη που μετακινεί τον χρόνο μπροστά κατά μία μέρα (ως εκ τούτου η μετατόπιση μετατρέπει την προηγούμενη χρονοσειρά στην  . . . Η Β Β Η Η (Β) Β Β Η . . .) Ένα κατάλληλο μέτρο μπορεί να εξαχθεί από τις πιθανότητες βροχής και ηλιοφάνειας αντίστοιχα στις διάφορες ημέρες. Αυτό το μέτρο όμως είναι αναλλοίωτο και θα διατηρηθεί μετά τη μετατόπιση, αφού η αρχική διεργασία είναι στάσιμη στοχαστική.

Πολλές φορές η συμπεριφορά ενός  γενικότερου συστήματος (όπως ο καιρός, τα ρεύματα στην ατμόσφαιρα ή οι διεργασίες που λαμβάνουν χώρα εντός του οργανισμού μας) επηρεάζεται από την τυχαία επιρροή επιμέρους τμημάτων του. Μια μικρή διαφοροποίηση στις αρχικές συνθήκες μπορεί να έχει πολύ μεγάλο αντίκτυπο στην τελική κατάσταση που θα ισορροπήσει το σύστημα. Τότε λέμε πως το σύστημα περιγράφεται με την βοήθεια στοχαστικών δυναμικών διεργασιών. Έχουν αναπτυχθεί εργαλεία για τη μελέτη αυτών των διεργασιών, όπως η εντροπία Κολμογκόροφ-Σινάι (K-S), που μάλιστα καθορίζουν  ποσότητες που παραμένουν αναλλοίωτες, ακόμη κι όταν μέρη του συστήματος φανερώνουν απρόβλεπτη συμπεριφορά. Η συμπεριφορά συστημάτων με εντροπία Κ-S ίση με το μηδέν μπορεί να προβλεφθεί πλήρως, αλλιώς τα συστήματα εμπεριέχουν χαοτική συμπεριφορά. Η εντροπία Κ-S σχετίζεται με το κατά πόσο είναι πιθανό σε ένα σύστημα να συμβούν όλες οι πιθανές καταστάσεις. Όπως προείπαμε, ένα σύστημα το οποίο είναι πιθανό να καταλήξει σε ΟΛΕΣ τις δυνατές καταστάσεις κατά την εξέλιξη του (όπως πχ ένα ζάρι που "επισκέπτεται" και τις 6 έδρες του)  είναι εργοδικό.

Στις τελευταίες εννέα παραγράφους της παρούσας ανάρτησής μου παραθέτω μία... εύτολμη συνοπτική απόπειρα συσχετισμού των προηγούμενων ιδεών με τη θεμελιώδη θεματολογία της θεωρίας ισομορφισμών:

Ισομορφισμοί: Ας υποθέσουμε ότι στο προαναφερθέν ιδεατό τραπέζι του μπιλιάρδου ανταλλάσουμε τον χρωματισμό των συγκεκριμένων περιοχών από άσπρο σε μαύρο και αντίστροφα. Επακόλουθο είναι ότι θα έχουμε μία νέα, διαφορετική διεργασία. Όμως, η νέα διεργασία θα είναι ισοδύναμη με την αρχική, κατά την έννοια ότι αν γνωρίζουμε το αποτέλεσμα της μίας διεργασίας απείρως μακριά στο μέλλον και στο παρελθόν, αυτό θα μας "πει" το αποτέλεσμα της άλλης. Χοντρικά, μπορούμε να πούμε ότι δύο διεργασίες είναι ισόμορφες, όταν υπάρχει ένας όμορφος τρόπος να αντιστοιχίζουμε τα αποτελέσματα της μίας στα αποτελέσματα της άλλης, έτσι ώστε το ένα αποτέλεσμα να καθορίζει το άλλο. Γενικά, το να προσδιορίζουμε αν υπάρχουν τέτοιες αντιστοιχίσεις είναι σχεδόν αδύνατο, όμως υπάρχουν τρόποι να γίνει αυτό σε ορισμένες περιπτώσεις.

Εργοδικότητα: Μία τυχαία διεργασία είναι εργοδική, αν ο χρονικός μέσος όρος μιας χρονοσειράς παρατηρήσεων είναι ίδιος με τον χρονικό μέσο όρο σε όλο τον χώρο φάσεων (καταστάσεων) του συστήματος, αρκεί το δείγμα να είναι επαρκώς μεγάλο. Αυτό σημαίνει ότι μία δειγματοληψία μας δίνει πληροφορίες για το σύστημα. Όμως, μία εργοδική διεργασία ή μετασχηματισμός δε μπορεί να εκφρασθεί ως συνδυασμός δύο απλούστερων διεργασιών (ή μετασχηματισμών.)  Πχ, ας φανταστούμε μία διεργασία, η οποία, αφού πρώτα επιλέξουμε έναν τυχαίο άνθρωπο, έχει ως αποτέλεσμα μία τεράστια χρονοσειρά από "Δ" και "A", σύμφωνα με το ποιό χέρι χρησιμοποιεί για να ανοίξει όλα τα χερούλια πόρτας που θα χρειαστεί ν' ανοίξει στη ζωή του. Αυτή η διεργασία σίγουρα δεν πρόκειται να είναι εργοδική, αφού ο χαρακτήρας των αποτελεσμάτων της είναι δυνατόν να κατανεμηθεί με εντελώς προβλέψιμο τρόπο, που εξαρτάται από το αν ο επιλεγείς άνθρωπος είναι δεξιόχειρας ή αριστερόχειρας. Αν υποθέσουμε ότι το ποσοστό των αριστερόχειρων στον γενικό πληθυσμό είναι 0,1 τότε όλη η διεργασία μπορεί να εκφρασθεί ως 0,1 Χ (διεργασία αριστερόχειρων) + (0,9 Χ (διεργασία δεξιόχειρων)

Εργοδικό θεώρημα Birkhoff: Όταν ένας εργοδικός μετασχηματισμός εφαρμόζεται επαναληπτικά έτσι ώστε να καταλήξει σε μία εργοδική διεργασία, τότε με πιθανότητα 1 (δηλ. με βεβαιότητα)  η συχνότητα στο χρόνο που ένα αποτέλεσμα παραμένει σε ένα συγκεκριμένο σύνολο αποτελεσμάτων (δηλαδή καταστάσεων ή φάσεων ή σημείων),  είναι ασυμπτωτικά το μέτρο του εν λόγω συνόλου.

Θεώρημα πύργου του Rohlin: Ας επιλέξουμε έναν αυθαίρετο θετικό ακέραιο, πχ τον 533.  Για κάθε μετασχηματισμό Τ που διατηρεί το μέτρο, μπορούμε να διαχωρίσουμε τον χώρο καταστάσεων (ή φάσεων, ή σημείων) σχεδόν σε 533 ισομεγέθη ξένα σύνολα A1 , . . . , A533 , έτσι ώστε αν διαμοιράσουμε τα σύνολα σαν τις βαθμίδες μιας σκάλας, τότε ο μετασχηματισμός συνίσταται απλούστατα στο να ανεβαίνουμε την σκάλα, δηλ.  T ( A i ) = A i+1 ,  T ( A i+1 ) = A i+2  κλπ

Θεώρημα των Shannon–McMillan–Breiman: Ας θεωρήσουμε μία εργοδική διεργασία, η οποία καταλήγει σε αποτελέσματα διπλά άπειρων χρονοσειρών (δηλ άπειρων και από τα δύο άκρα τους) που αποτελούνται από "α" και"β".  Αν επιλέξουμε από αυτές μία τυχαία  διπλά άπειρη χρονοσειρά, τότε με πιθανότητα "1" (δηλ βεβαιότητα),  όταν κατασκευάσουμε από αυτήν και εξετάσουμε την προκύπτουσα χρονοσειρά  που αποτελείται από πεπερασμένες αρχικές χρονοσειρές (όπως πχ  α, αβ, αββ, αββα, αββαα, . . . .), η εν λόγω χρονοσειρά θα έχει πιθανότητα εμφάνισης που θα προσεγγίζει ασυμπτωτικά έναν σταθερό ρυθμό εκθετικής μείωσης. Επιπλέον, αυτός ο ρυθμός εκθετικής μείωσης δεν θα εξαρτάται από την χρονοσειρά που τυχαία θα επιλέξουμε στην αρχή.

Εντροπία: Ο εκθετικός ρυθμός μείωσης που μόλις προαναφέρθηκε ονομάζεται εντροπία της διεργασίας. Όπως είπαμε, ουσιαστικά όλες οι "διπλά" άπειρες χρονοσειρές έχουν τον ίδιο ρυθμό εκθετικής μείωσης.  Ας ονομάσουμε "εύλογα ονόματα" όσες διπλά άπειρες χρονοσειρές έχουν πιθανότητα εμφάνισης που τείνει στον ίδιο σταθερό ρυθμό εκθετικής μείωσης. Τότε, ο πληθικός αριθμός  (πλήθος) των "εύλογων ονομάτων"  ισούται κατά προσέγγιση με  το αντίστροφο αυτής της εκθετικά φθίνουσας πιθανότητας, δηλαδή είναι μία ποσότητα που αυξάνεται με σταθερό εκθετικό ρυθμό.  Συνεπώς η εντροπία μπορεί επίσης να ορισθεί και ως ο ασυμπτωτικός ρυθμός αύξησης του πλήθους των "εύλογων ονομάτων". 

Αναλλοίωτη εντροπία Kolmogorov: Οποιεσδήποτε δύο ισόμορφες διεργασίες οφείλουν να έχουν την ίδια εντροπία. Αυτό το θεώρημα παρέχει έναν γρήγορο τρόπο για να πιστοποιήσουμε αν δύο διεργασίες δεν είναι ισόμορφες, και συγκεκριμένα, όταν έχουν διαφορετικές εντροπίες. 

Ανεξάρτητη διεργασία: Μία στάσιμη στοχαστική διεργασία (δηλ ανεξάρτητη του χρόνου) που επεξεργάζεται ένα "αλφάβητο", έτσι ώστε το κάθε επόμενο "γράμμα" που εμφανίζεται στην προκύπτουσα χρονοσειρά (αποτέλεσμα) να είναι πάντα ανεξάρτητο από εκείνα τα "γράμματα" που ήρθαν προηγουμένως, ονομάζεται ανεξάρτητη διεργασία. Πχ, η επανειλημένη ρίψη ενός ζαριού (δίκαιου ή ακόμα και μη αμερόληπτου ζαριού) αφορά μία ανεξάρτητη διεργασία.

Θεώρημα ισομορφισμού του Ornstein: Αυτό το αυστηρό θεώρημα αποδεικνύει ότι δύο στάσιμες ανεξάρτητες στοχαστικές διεργασίες είναι ισόμορφες ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ έχουν την ίδια εντροπία.  Πράγματι, οι καθιερωμένες αποδείξεις του θεωρήματος μας υποδηλώνουν ακόμα περισσότερα,  καθόσον μας προσφέρουν μία εντελώς φυσική συνθήκη που μπορεί να ελεγχθεί σε πολλές περιπτώσεις, έτσι ώστε δύο οποιεσδήποτε διεργασίες που έχουν την ίδια εντροπία και ικανοποιούν την εν λόγω συνθήκη, οφείλουν να είναι ισόμορφες. Αυτό έχει οδηγήσει στην εκπληκτική συνειδητοποίηση ότι ένας αρκετά μεγάλος αριθμός τάξεων συστημάτων που διατηρούν το μέτρο και δεν δείχνουν καθόλου όμοια με την ρίψη ζαριών ή νομισμάτων, είναι στην πραγματικότητα ισόμορφα με ανεξάρτητες διεργασίες. 


Θέλω να βλέπω τα παραπάνω σαν μία χαραμάδα προσπέλασης ενός μικρού μέρους της ομορφιάς που αναδύουν οι προαναφερθείσες αφαιρετικές έννοιες, οι οποίες παρουσιάστηκαν ακροθιγώς, χωρίς τα απαραίτητα μαθηματικά που προσφέρουν την άμεση πρόσβαση στην ολότητα της μαγείας τους.


Σε κάθε μοναδική ημέρα
υπάρχουν ένα ηλιοβασίλεμα και μία ανατολή
που προσφέρονται ΕΝΤΕΛΩΣ ΔΩΡΕΑΝ.
Μη χάνετε τόσα πολλά από αυτά...



YΓ1. Κλικάρετε άφοβα τα 34 link της ανάρτησης αλλά και τις 2 εικόνες


YΓ2. Χρησιμότητα των αφαιρετικών φυσικομαθηματικών ιδεών

Σε μία από τις διαλέξεις του γύρω στο 1840, ο Michael Faraday παρουσίασε την περίεργη συμπεριφορά ενός μαγνήτη σε σχέση με ένα πηνίο (δηλαδή ένα συρμάτινο σπειροειδές κυλινδρικό τύλιγμα) συνδεδεμένου με ένα γαλβανόμετρο, που έδειχνε την παρουσία ή απουσία ηλεκτρικού ρεύματος. Στην αρχή δεν υπήρχε ρεύμα στο σύρμα, αλλά όσο ο μαγνήτης ωθείτο εντός του κοίλου κυλινδρικού πηνίου, τόσο η βελόνα του γαλβανόμετρου εκινείτο προς το ένα άκρο της κλίμακας του οργάνου, πράγμα που υποδήλωνε την ύπαρξη  ηλεκτρικού ρεύματος. Όσο ο μαγνήτης απεσύρετο από την κυλινδρική σπειροειδή δομή του πηνίου, τόσο η βελόνα γύριζε στην άλλη κατεύθυνση, πράγμα που υποδήλωνε ότι το ρεύμα έρρεε αντίθετα. Όσο ο μαγνήτης διετηρείτο ακίνητος  σε οποιαδήποτε θέση εντός του πηνίου, η βελόνα του γαλβανόμετρου ήταν ακίνητη, και συνεπώς δεν υπήρχε ροή ηλεκτρισμού.

Στο τέλος της διάλεξης, ένα μέλος του ακροατήριου προσέγγισε τον Faraday και του είπε επιτακτικά:  “Κύριε Faraday,  η συμπεριφορά του μαγνήτη και του πηνίου ήταν ενδιαφέρουσα, αλλά ποιά είναι η χρησιμότητά τους?

Ο  Faraday απάντησε ευγενικά, “Κύριε, ποιά είναι η χρησιμότητα ενός μωρού?

Ήταν ακριβώς αυτό το φαινόμενο, η χρησιμότητα του οποίου αμφισβητήθηκε έμμεσα και εντελώς αυθαίρετα από κάποιο μέλος του ακροατηρίου, που ο Faraday χρησιμοποίησε αργότερα για να αναπτύξει την ηλεκτρική γεννήτρια, η οποία, για πρώτη φορά, έκανε δυνατή τη φτηνή παραγωγή ηλεκτρισμού σε μεγάλες ποσότητες. Αυτή η εξέλιξη με τη σειρά της, έκανε δυνατή την ηλεκτρομαγνητική τεχνολογία που μας περικυκλώνει σήμερα από παντού, και που φυσικά χωρίς αυτήν η σύγχρονη ζωή φαντάζει αδιανόητη, ακόμη και στους πλέον αδαείς τεχνοφοβικούς.

Η επίδειξη του Faraday ήταν ένα νεογέννητο μωρό, που μεγάλωσε και εξελίχθηκε σε γίγαντα.



January 31, 2020

Θάνατος ο ισοπεδωτής


  Ο γεωλογικός χώρος που αποκαλούμε Ελλάδα ΔΕ θα υπάρχει σε μερικά εκατομμύρια χρόνια
 

 The glories of our blood and state
Are shadows, not substantial things;
There is no armour against fate;
  Death lays his icy hand on kings:
      Sceptre and crown
      Must tumble down,
  And in the dust be equal made
  With the poor crooked scythe and spade.

Δεν υπάρχει καμμία πανοπλία ενάντια στη μοίρα...

Το παραπάνω συγκλονιστικό απόσπασμα από το γνωστό ποίημα του Τζέιμς Σίρλεϋ (1659) είναι μόνιμα εγκατεστημένο στο μυαλό μου από την ηλικία των 17 χρόνων. 

Υπέυθυνος γι' αυτή τη διαχρονική δέσμευση κάποιων νευρώνων του εγκεφάλου μου ήταν ο χαρισματικός καθηγητής των Αγγλικών στη Σχολή Αναβρύτων Πέτρος Ορφανίδης, ένας εξαιρετικά καλλιεργημένος άνθρωπος, που έκανε το... extra mile, δηλ. το κάτι παραπάνω για τους μαθητές του.

Ο Πέτρος μας προσέφερε ιδιαίτερα φίλτρα για να διακρίνουμε την πραγματική Ποίηση και την ομορφιά που σπανίζει, σε αντιδιαστολή με την άφθονη ασχήμια που υπάρχει τριγύρω μας και δυστυχώς βαφτίζεται ως "ποίηση", υπό τον μανδύα της δήθεν προσωπικής έκφρασης του κάθε... πικραμένου.

Ίσως γι' αυτό το λόγο, στη ζωή μου πάντα  συντονιζόμουν απόλυτα με τον παρακάτω έξοχο, εικονοκλαστικό αφορισμό του Paul Dirac:

"The aim of science is to make difficult things understandable in a simpler way; the aim of poetry is to state simple things in an incomprehensible way. The two are incompatible."


ΥΓ. Μακάρι να διάβαζες αυτή την ανάρτηση Πέτρο, όπου κι' αν είσαι...

December 25, 2019

Are you saying Happy Christmas ?




I wonder if I might crave your momentary indulgence in order to discharge a — by no means disagreeable — obligation which has over the years become, more or less established practice within government circles as we approach the terminal period of the year, calendar of course not financial; in fact, not to put too fine a point on it, week 51; and submit to you, with all appropriate deference, for your consideration at a... convenient juncture, a sincere and sanguine expectation, indeed, confidence; indeed one might go so far as to say hope, that the aforementioned period may be, at the end of the day, when all relevant facts have been taken into consideration, susceptible of being deemed to be such as to merit a final verdict of having being, by no means, unsatisfactory in its overall outcome and in the final analysis, to give grounds for being judged, on mature reflection, to have been conducive to generating a degree of gratification which will be seen in retrospect, to have been significantly higher than the general average…

December 3, 2019

Αντισυμβατικότητα ή εκκεντρικότητα?



Το πρόβλημα της εικόνας χρησιμοποιήθηκε στην Κίνα, για να βρεθούν προικισμένα παιδιά 10-11 ετών, που μελλοντικά θα συμμετάσχουν σε διεθνείς διαγωνισμούς μαθηματικών.

Το διάγραμμα είναι αυτοεπεξηγηματικότατο και απεικονίζει ένα πλάγιο παραλληλόγραμμο ABCD, όχι υπό κλίμακα.

Στο σχήμα σημειώνονται τα τέσσερα εμβαδά των κίτρινων περιοχών και ζητείται το άγνωστο εμβαδό της κόκκινης τριγωνικής περιοχής.

Δε θέλω να σας αποθαρρύνω, αλλά εντοπίσθηκαν μερικά 10χρονα ιδιοφυή κινεζάκια (ενδεχομένως... πολύ προπονημένα) που έλυσαν το πρόβλημα σε λιγότερο από 1 λεπτό!  

Σας συνιστώ να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας, ΠΡΙΝ δείτε τη λύση κλικάροντας στην εικόνα. 

Το μόνο που χρειάζεται να γνωρίζετε είναι βασική αριθμητική, καθώς και πως να υπολογίζετε τα εμβαδά τριγώνων και παραλληλογράμμων.

Σημειωτέον, ότι θα έχετε πολύ περισσότερες πιθανότητες να λύσετε το πρόβλημα, αν αγνοήσετε τυχόν περισπασμούς, όπως έπραξε σοφά το έτος 1963 ο 75χρονος ντανταϊστής ζωγράφος Marcel Duchamp με την τότε 20χρονη φοιτήτρια Eve Babitz (βλ. φωτο)



ΥΓ.  What seems to be is always better than nothing



November 2, 2019

Βlown away !


Απίστευτο!! 16 Ρώσοι που ακούγονται πιο... Chicago κι' από τους Chicago, αλλά  και πιο... EWF από τους EWF.

Ας σημειωθεί ότι είχα δει live τους EWF 
στο Λονδίνο, ως μεταπτυχιακός φοιτητής, δηλ. προ... αμνημονεύτων χρόνων (RIP Maurice.) 


Στη Ρωσία η σύνταξη χορηγείται στην ηλικία των 60 ετών, αλλά ο Leonid Vorobyef αντί να αποσυρθεί από τη μουσική βιομηχανία, αποφάσισε να κάνει κάτι εξαιρετικό για να γιορτάσει την περίσταση, στήνοντας ένα απίστευτο 16-μελές σχήμα με έντονο χάλκινο ήχο.



Συμπερασματικά, η ζωή μετά τα 60 εξακολουθεί να είναι υπέροχη. Εξάλλου, η ηλικία δεν είναι παρά ένας αριθμός...


ΥΓ. Знает ли кто-нибудь вообще, который час?

August 16, 2019

Good Fibrations





Υποθέτω ότι οι περισσότεροι άνθρωποι είναι εξοικειωμένοι με τις διδιάστατες σφαιρικές επιφάνειες, οι οποίες είναι εμβαπτισμένες στον τριδιάστατο χώρο που αντιλαμβανόμαστε.

Στα δύο επόμενα video αναδύεται αυθόρμητα η ανείπωτη ομορφιά της πλήρους αποσύνθεσης σε μονοδιάστατους κύκλους της τριδιάστατης οριακής "επιφάνειας" μιας... 4D υπερσφαίρας εμβαπτισμένης σε τετραδιάστατο χώρο.


Μεταξύ άλλων, οι ινώσεις Hopf και ευρύτερα το γνωστικό πεδίο της Τοπολογίας μας υποβοηθούν έτσι ώστε κυριολεκτικά  να "βλέπουμε" αντικείμενα εμβαπτισμένα σε χώρους τεσσάρων (ή και περισσότερων) διαστάσεων) υπερβαίνοντας τα δεσμά των τριών περιοριστικών διαστάσεων, στις οποίες φαινομενικά κατοικοεδρεύουμε. 



Το επόμενο video είναι συμπληρωματικό και ίσως εκτιμηθεί μόνο από όσους έχουν μαθηματική κλίση  (για να μη πω... απόκλιση!)



Στο μαθηματικό πεδίο της Διαφορικής Τοπολογίας οι ινώσεις  Hopf (επίσης γνωστές ως δέσμες Hopf ή αντιστοιχίες Hopf) περιγράφουν μια 3-σφαίρα, δηλαδή την 3D "επιφάνεια" (ή αλλιώς το όριο) μιας 4D υπερσφαίραςμέσω κύκλων και μιας συνηθισμένης σφαίρας. Αυτή η μαθηματική ομορφιά που ανακαλύφθηκε από τον Heinz Hopf το 1931, είναι το σημαντικότερο πρώϊμο παράδειγμα μιας δέσμης νημάτων. 

Μιλώντας κάπως πιό... τεχνικά, ο Hopf ανακάλυψε μια συνεχή αντιστοιχία μεταξύ της 3-σφαίρας και της γνωστής σε όλους μας 2-σφαίρας, έτσι ώστε κάθε ξεχωριστό σημείο της 2-σφαίρας να αντιστοιχίζεται με ένα ξεχωριστό μέγιστο κύκλο της 3-σφαίρας.  Συνεπώς η 3-σφαίρα συντίθεται από νήματα, όπου το κάθε νήμα είναι ένας κύκλος—ένας για κάθε ξεχωριστό σημείο της 2-σφαίρας!


ΥΓ.
  Ίσως είναι κάπως τολμηρό το κλικάρισμα της μοναδικής εικόνας σε αντίθεση με τα 27 "φανερά" link του κειμένου.

December 18, 2018

Waves revisited





Αναφορικά με τη θλίψη θα ανακαλύψετε ότι έρχεται σε κύματα. Όταν έχετε καραβοτσακιστεί, πνίγεστε μέσα σε απομεινάρια συντριμμιών που βρίσκονται παντού. Ότι επιπλέει τριγύρω, θυμίζει την ομορφιά του πλοίου που κάποτε υπήρξε. 

Το μόνο που μπορείς να κάνεις είναι να επιπλέεις. Βρίσκεις κάποιο κομμάτι από τα συντρίμμια και γαντζώνεσαι επάνω του για λίγο. Ίσως να είναι ένα φυσικό αντικείμενο. Ίσως μια ευχάριστη ανάμνηση ή μία φωτογραφία. Ίσως είναι κάποιος άλλος άνθρωπος που επίσης επιπλέει. Για λίγο, το μόνο που μπορείς να κάνεις είναι να επιπλέεις. Να μένεις ζωντανός.

Στην αρχή, τα κύματα υψώνονται στα 30 μ και πέφτουν πάνω σου χωρίς έλεος. Έρχονται κάθε 10 δευτερόλεπτα και δεν σου δίνουν χρόνο ούτε για να αναπνεύσεις. Το μόνο που μπορείς να κάνεις είναι να αντέχεις και να επιπλέεις. Μετά από λίγο, ίσως βδομάδες, ίσως μήνες, συνειδητοποιείς ότι τα κύματα  εξακολουθούν να έχουν ύψος 30 μ, αλλά απέχουν αρκετά το ένα από το άλλο. Όταν έρχονται, πέφτουν πάνω σου, ισοπεδώνοντάς σε όπως πριν. Αλλά ενδιάμεσα μπορείς να αναπνέεις, να λειτουργείς.

Ποτέ δεν ξέρεις τι πρόκειται να πυροδοτήσει τη θλίψη. Μπορεί να είναι κάποιο τραγούδι, μία εικόνα, μία ανισόπεδη διάβαση, η μυρωδιά ενός φλυτζανιού καφέ. Μπορεί να είναι οτιδήποτε... και τα κύματα εφανίζονται και σε ξανατσακίζουν. Αλλά μεταξύ των κυμάτων υπάρχει ζωή.

Κάπου στο βάθος του χρόνου (και αυτό διαφέρει για τον καθένα) ανακαλύπτεις ότι τα κύματα  έχουν πλέον ύψος 25 μ. Ή ακόμη και 15 μ. Και όσο έρχονται, έχουν ακόμα μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ τους. Τώρα τα βλέπεις που έρχονται. Μια επέτειος, κάποια γενέθλια, μια γιορτή, ή το αεροδρόμιο Heathrow. Τα βλέπεις που έρχονται και τις περισσότερες φορές προετοιμάζεσαι. Και όταν ξεβράζονται πάνω σου, ξέρεις ότι με κάποιο τρόπο θα τα ξεπεράσεις και θα βρεθείς στη πίσω  πλευρά τους. Καταμουσκεμένος, τρέμοντας, γαντζωμένος σε κάποιο μικρό κομμάτι του ναυαγίου, αλλά το ξεπερνάς.

Δεχθείτε το από έναν παλιό... μαέστρο: Τα κύματα δε θα σταματήσουν ΠΟΤΕ να έρχονται, και κατά κάποιο τρόπο, δε θα θέλαμε κάτι τέτοιο. Ίσως γιατί μάθαμε να επιβιώνουμε από δαύτα. Κι' άλλα κύματα θα ξανάρθουν. Και θα ξαναεπιβιώσουμε. Αλλά αν είμαστε τυχεροί, θα έχουμε πολλές βαθιές ουλές από ανθρώπους που αγαπήσαμε στη ζωή μας. Και πολλά ναυάγια... 





ΥΓ.  Δύο ονειρικές μουσικές εκδοχές των κυμάτων εμφωλεύουν στο πιάνο του Oscar Peterson (1o video) και φυσικά στις  ανθρώπινες φωνές (2ο video)

November 1, 2017

Oh! Spike...



Pussy-cat
What are vices?
Catching rats
And eating mices!

A Spike Milligan poem





YΓ. Στην εικόνα η 2,5 ετών αγαπημένη μου πρασινομάτα... Bookie


October 1, 2017

It's all about probability !



Η εικονιζόμενη γάτα μου, με το σουρεαλιστικό όνομα... Φραγκούλα, είναι σε θέση να υπολογίζει μαθηματικά το ακριβές μέρος που κάθεται έτσι ώστε να προκαλεί σχεδόν πάντα τον μεγαλύτερο βαθμό αταξίας — για να μη πω... εντροπίας.

Τόσα πράγματα στη ζωή μας συμβαίνουν προς μία κατεύθυνση, αλλά ποτέ αντίστροφα — πχ τα ποτήρια θρυμματίζονται, τα αυγά σπάνε, αλλά ποτέ δεν αναδομούνται αυθόρμητα στη προηγούμενη κατάστασή τους.

Ωστόσο, στο βασίλειο των ατόμων και των μορίων, τέτοιες διεργασίες είναι αντιστρεπτές. Όμως, όσο βαίνουμε προς μεγαλύτερες ομάδες μορίων, παρατηρούμε την εμφάνιση ενός μονόδρομου — δηλ. μιας μακροσκοπικής μη-αντιστρεπτότητας, η οποία αναδύεται από τα μικροσκοπικά αντιστρεπτά μέρη που την συνθέτουν.

Τα πράγματα συμβαίνουν αυθόρμητα προς την κατεύθυνση της αυξανόμενης εντροπίας, αλλά όχι προς την αντίστροφη κατεύθυνση, επειδή υπάρχουν περισσότεροι τρόποι για να απλωθεί η ενέργεια στο περιβάλλον — και σαφώς πολύ λιγότεροι τρόποι για να κρατηθεί περιορισμένη.

Συνεπώς η αύξηση της εντροπίας (δηλ. του μέτρου της αταξίας) είναι πολύ πιo πιθανή, ενώ η μείωσή της είναι κατά βάση αδύνατη!

Είναι ζήτημα πιθανοτήτων.



Η δεξιά ταινία είναι η αριστερή «παιγμένη» αντίστροφα, αλλά αμέσως κάτι δείχνει παράξενο σ' αυτή. Οι κύβοι πάγου μπορεί να λιώσουν κάποια ζεστή μέρα (βλ. αριστερά) — αλλά ποτέ δε θα μορφοποιηθούν αντίστροφα σε τακτοποιημένους κύβους, όπως στη δεξιά ταινία.

Αν όμως φανταστούμε ότι ζουμάρουμε τις 2 παραπάνω ταινίες σε μοριακό επίπεδο, και οι δύο θα μας φανούν φυσιολογικές επειδή οι κινήσεις των ατόμων και των μορίων δεν αντιβαίνουν στους νόμους της Φυσικής. Όμως μακροσκοπικά, η δεξιά εικόνα είναι απίθανο να συμβεί λόγω των περισσότερων τρόπων «διάχυσης» της ενέργειας στη κατεύθυνση της αυξανόμενης εντροπίας.

Στοιχειώδες, αγαπητέ μου... Watson!


ΥΓ. Ο πόνος είναι παράξενος. Όπως και οι πιθανότητες. Μια πυρκαγιά, μια πλημμύρα, ένα αυτοκίνητο που σκοτώνει τη γάτα σου... Ο πόνος έρχεται ξαφνικά και κάθεται πάνω σου. Είναι πραγματικός. Και σε όποιον παρακολουθεί, δείχνεις ανόητος. Σαν να έγινες ξαφνικά ανόητος. Δεν υπάρχει γιατρικό για τον πόνο, εκτός αν κάποιος δικός σου (Ευτυχία, Βασίλης) καταλαβαίνει πως αισθάνεσαι και ξέρει πως να βοηθήσει.

Χθες, Σάββατο 18 Νοεμβρίου 2017 ένα καταραμένο αυτοκίνητο σκότωσε την αγαπημένη μου Φραγκούλα....

September 1, 2017

Plimpton 322



Για ~100 χρόνια, η πλάκα της εικόνας αναφερόταν ως Plimpton 322. Ανακαλύφθηκε στο Ιρακ στις αρχές του 1900 ΚΕ από τον Edgar Banks, τον Αμερικανό αρχαιολόγο επάνω στον οποίο βασίστηκε κατά μεγάλο μέρος ο χαρακτήρας του κινηματογραφικού Indiana Jones. Το 1922 αγοράστηκε από τον George Arthur Plimpton και έκτοτε αποκαλείται πλάκα Plimpton 322.

Από την πήλινη πλάκα Plimpton είναι σαφές ότι, τουλάχιστον 1000 χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα, οι εκπληκτικοί Βαβυλώνιοι ήξεραν πως να δημιουργούν πρωτογενείς Πυθαγόρειες τριάδες, όπως πχ  η (119, 120, 169) που έχει την ιδιότητα:

1192 + 1202  = 1692 

Επιπλέον, δύο ερευνητές του παν/μίου New South Wales θεωρούν ότι η εν λόγω πλάκα αποτυπώνει έναν από τους παλαιότερους και πιο ακριβείς τριγωνομετρικούς πίνακες του αρχαίου κόσμου!

Τίθεται πια το αδυσώπητο ερώτημα:  εκθρονίστηκε ο Ίππαρχος?

Γραφικοί «ελληναράδες»... μη πτοείσθε! Ακόμη κι' αν οι Βαβυλώνιοι εφηύραν την τριγωνομετρία, αυτή βελτιώθηκε δραστικά σε απόδοση και ακρίβεια από τους Έλληνες 1000 χρόνια... αργότερα!

Όμως τι να πούμε για τον αγλαό Leonard Euler που κωδικοποίησε ολόκληρη τη τριγωνομετρία επάνω σε μία μόνο εξίσωση, την περίφημη e = συνθ + iημθ  ?


Η αισθητική ομορφιά των Μαθηματικών σε όλο της το μεγαλείο...



ΥΓ1.  Κλικάρετε αδίστακτα τα 13 link και τις 3 εικόνες!

ΥΓ2.  Μήπως κλονίστηκε και ο Πυθαγόρας?



August 1, 2017

O resto é mar (revisited)


Η πιθανότητα ανίχνευσης ενός νετρίνου συγκεκριμένης «γεύσης» απλώνεται στο χώρο και χρόνο σαν να είναι κύμα.



Το κάθε «κύμα» (κυματοσυνάρτηση) σχετίζεται με μια από τις 3 γεύσεις νετρίνου, και εξελίσσεται με ελαφρώς διαφορετική συχνότητα από τα κύματα άλλων γεύσεων.


Για κάθε νετρίνο σε κατάσταση υπέρθεσης, αυτά τα όχι εντελώς ίδια κύματα υφίστανται το φαινόμενο της συμβολής, με τον ίδιο σχεδόν τρόπο που «συμβάλλουν» οι κυματισμοί στην επιφάνεια μιας λιμνούλας. Όποτε συναντώνται οι κορυφές, αυξάνεται η πιθανότητα ανίχνευσης μιας γεύσης, ενώ μειώνεται αν οι κορυφές ακυρωθούν συμπίπτοντας με κυματικές «γούβες».



July 1, 2017

Αστάθεια...



Μισό αιώνα μετά το σοκ που επέφερε στους ταξιδιώτες ο Bertrand Sadow με την εφεύρεση των κυλιόμενων αποσκευών, επιτέλους εξακριβώθηκε γιατί οι βαλίτσες τείνουν να χορεύουν rock and roll, μέχρι τελικής πτώσεως, κατά την διάρκεια των κλασσικών αγώνων δρόμου στα αεροδρόμια.

Aν η αποσκευή μας αρχίζει να χορεύει ανεξέλεγκτα, η ενδεικνυόμενη αντίδραση δεν είναι να επιβραδύνουμε, αλλά να τραβάμε πιο γρήγορα, ώστε να αποσβέσουμε το πλάτος των ταλαντώσεων.

Όμως υπάρχουν περιπτώσεις  και αρκετές από αυτές αφορούν το τράβηγμα μιας βαλίτσας!  όπου η επιτάχυνση είναι μεν μία περίτεχνη επιλογή, αλλά τελικά φαντάζει κάπως... ιδιόρρυθμη.

Ευτυχώς, υπάρχει και κάποια άλλη λύση που «δουλεύει» εξίσου καλά: να ελαττώσουμε την γωνία κλίσης ως προς το έδαφος, ώστε να αποζεύξουμε την πλάγια κίνηση. Με λίγα λόγια: κατεβάζουμε το χερούλι!

Παρεμπιπτόντως, όλη η ανάλυση πάει... περίπατο, αν λάβουμε υπόψη μας ότι  ένας gentleman περπατάει, αλλά ποτέ δεν τρέχει!




ΥΓ.  Είναι απαραίτητα τα κλικ στην εικόνα, στα 7 link και στο video




June 1, 2017

Αmplituhedron



Ο Πλάτωνας θα ήταν πολύ ευχαριστημένος αν ζούσε!

Ο Penrose είναι!

Το amplituhedron (τολμώ να το βαφτίσω... πιθανόεδρο!) είναι ένα περίπλοκο, αφηρημένο μαθηματικό αντικείμενο, το οποίο μοιάζει με πολυεδρικό διαμάντι, που όμως κατοικοεδρεύει σε υψηλές διαστάσεις. Στον όγκο του είναι κωδικοποιημένα τα πιο θεμελιώδη χαρακτηριστικά της πραγματικότητας που είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε, δηλαδή τα πλάτη σκέδασης, τα οποία αφορούν την πιθανότητα κάποιου συνόλου συγκρουόμενων σωματιδίων να εξελιχθούν σε κάποιο άλλο σύνολο σωματιδίων.

Οι λεπτομέρειες κάθε ιδιαίτερης διαδικασίας σκέδασης υπαγορεύουν το πλήθος των διαστάσεων και τις έδρες του αντίστοιχου πιθανοέδρου. Τα κομμάτια της +ve Grassmannian (βλέπε εξωτερική άλγεβρα) τα οποία συνήθως υπολογίζονται με διαγράμματα twistor του Penrose και ακολούθως προστίθενται απλά με το... "χέρι", δεν είναι παρά οι δομικοί λίθοι που ταιριάζουν μέσα στο πιθανόεδρο, όπως ακριβώς κάποια τρίγωνα ταιριάζουν μέσα σε ένα πολύγωνο 2 διαστάσεων. Σημειωτέον δε, ότι η +ve Grassmannian είναι ο κάπως πιο μεγάλος ξάδερφος του εσωτερικού ενός τριγώνου.  Όπως πχ το εσωτερικό ενός τριγώνου είναι μία περιοχή σε χώρο 2 διαστάσεων που οριοθετείται από ευθείες γραμμές που τέμνονται, έτσι και η απλούστερη περίπτωση μιας +ve Grassmannian είναι μια περιοχή σε χώρο Ν διαστάσεων που οριοθετείται από τεμνόμενα επίπεδα. (Ν είναι φυσικά ο αριθμός των σωματιδίων που εμπλέκονται στην διαδικασία σκέδασης!)

Επιπροσθέτως, οι Arkani-Hamed και Trnka κατόρθωσαν, σε κάποιες περιπτώσεις, να υπολογίσουν τον όγκο του πιθανοέδρου απευθείας, δηλ. χωρίς την βοήθεια των προαναφερθέντων διαγραμμάτων twistor, που συνήθως επιστρατεύονται για την εύρεση των επιμέρους όγκων.

Το εκπληκτικό είναι ότι βρήκαν ένα "master πιθανόεδρο" με άπειρο αριθμό εδρών, ανάλογο με έναν κύκλο σε 2 διαστάσεις, που έχει άπειρο αριθμό πλευρών. Ο όγκος του συγκεκριμένου μαθηματικού αντικειμένου θεωρητικά αναπαριστά το συνολικό πλάτος πιθανότητας ΟΛΩΝ των φυσικών διεργασιών! Στις έδρες αυτής της master δομής "ζουν" πιθανόεδρα χαμηλότερων διαστάσεων, τα οποία αντιστοιχούν στις αλληλεπιδράσεις μεταξύ πεπερασμένου αριθμού σωματιδίων!!!

Ακόμα και ΧΩΡΙΣ τις αρχές της μοναδιακότητας και τοπικότητας, ο φορμαλισμός του πιθανοέδρου στη κβαντική θεωρία πεδίου, προς το παρόν δεν περιλαμβάνει την βαρύτητα. Όμως οι ερευνητές δουλεύουν πολύ επάνω σ' αυτό και αναφέρουν ότι πιθανότατα θα περιγραφούν με το πιθανόεδρο ή με κάποιο παρόμοιο γεωμετρικό αντικείμενο KAI οι διαδικασίες σκέδασης που συμπεριλαμβάνουν σωματίδια φορείς της βαρυτικής δύναμης. Αυτό το νέο αφηρημένο αντικείμενο μπορεί να σχετίζεται στενά με το πιθανόεδρο και ίσως είναι ελαφρά διαφορετικό, αλλά ενδεχομένως να είναι και κάπως πιο δύσκολο να προσδιοριστεί.

Επίσης, οι φυσικοί θα πρέπει να αποδείξουν ότι ο νέος γεωμετρικός φορμαλισμός έχει ακριβή εφαρμογή σε ΟΛΑ τα γνωστά σωματίδια που αναφύονται στο σύμπαν, κι' ας "αναδύθηκε" μέσα από την εξιδανικευμένη κβαντική θεωρία πεδίου που χρησιμοποιήθηκε για την ανάπτυξή του, δηλ. μια μεγιστοποιημένη υπερσυμμετρική θεωρία Yang-Mills. Το εν λόγω θεωρητικό μοντέλο, που αποδέχεται έναν υπερσυμμετρικό σύντροφο για κάθε γνωστό σωματίδιο και επίσης διαχειρίζεται το χωροχρoνικό συνεχές ως επίπεδο, συμβαίνει να είναι η απλούστερη περίπτωση γι' αυτά τα νέα μαθηματικά εργαλεία. Όμως το σημαντικό είναι πως έχει γίνει κατανοητός ο τρόπος γενίκευσης αυτών των εργαλείων και στις άλλες θεωρητικές προσεγγίσεις!   

Πέρα από την ασύγκριτη ευκολία των υπολογισμών με το πιθανόεδρο σε σύγκριση με τα διαγράμματα Feynman, που τις περισσότερες φορές οδηγούν σε υπολογιστικά αδιέξοδα ακόμη και τους σύγχρονους υπερυπολογιστές, αυτή η ανακάλυψη μπορεί να προξενήσει μια ακόμη βαθύτερη μετατόπιση στην επιστημονική σκέψη. Ο χώρος και ο χρόνος ΔΕΝ είναι πλέον θεμελιώδεις ιδιότητες αλλά αναδυόμενα βασικά συστατικά της φύσης. Κυρίως όμως θα πρέπει να κατανοηθεί το πως η κοσμολογική εξέλιξη, αλλά και το σύμπαν, προήλθαν από την απλή γεωμετρία!!!

Είτε μας αρέσει είτε όχι, το πιθανόεδρο ίσως είναι η σύγχρονη εκδοχή της αναλογίας με τα φασόλια των ιερέων Maya, που περιγράφει ο λατρεμένος Richard Feynman στην εισαγωγή του βιβλίου του QED.





ΥΓ. Μη διστάσετε να κλικάρετε τα 27 link και τις 2 εικόνες


May 1, 2017

Flummoxed !



«Τις προάλλες, εγώ και η Φραγκούλα ακολουθήσαμε το ένστικτό μας και σκοτώσαμε ένα χελιδόνι, που εν τέλει εναποθέσαμε ως δώρο στο πάτωμα του δωματίου, ξεπουπουλιασμένο και επαρκώς διαμελισμένο, αλλά πάντως... αφάγωτο. Μολαταύτα, οφείλω να συνομολογήσω ότι παραξενευτήκαμε που δεν εκτιμήσατε καθόλου την καλόπιστη και ευγενική προσφορά μας!» 

Bookie


ΥΓ. Από την ευρεία διασπορά των φτερών κυρίως μέσα στο υπνοδωμάτιο έβγαλα το συμπέρασμα ότι το άτυχο χελιδόνι αγωνίστηκε σκληρά για τη ζωή του πριν συμβεί το μοιραίο. Είναι λυπηρό το ότι ταξίδεψε τόσες χιλιάδες χιλιόμετρα από την Αφρική για να πέσει στα σαγόνια της Bookie και της Φραγκούλας, που είναι μεν αξιολάτρευτες, αλλά σε τελική ανάλυση δεν είναι παρά... τρυφερά αρπακτικά.